Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105368 / 97352
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E109.401856°		 ← 126.88 m → S 65.449133°
E109.404602°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.450274°
E109.401856°		 ← 126.87 m →
16 102 m²		 S 65.450274°
E109.404602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803897857666016 y=0.742740631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803897857666016 × 217)
    floor (0.803897857666016 × 131072)
    floor (105368.5)     		tx = 105368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742740631103516 × 217)
    floor (0.742740631103516 × 131072)
    floor (97352.5)     		ty = 97352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105368 / 97352 ti = "17/105368/97352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105368/97352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105368 ÷ 217
    105368 ÷ 131072     		x = 0.80389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97352 ÷ 217
    97352 ÷ 131072     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80389404296875 × 2 - 1) × π
    0.6077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90942259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90942259} λ = 1.90942259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90942259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105368 KachelY 97352 1.90942259 -1.14230286 109.401856 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 105369 KachelY 97352 1.90947052 -1.14230286 109.404602 -65.449133
    Unten links KachelX 105368 KachelY + 1 97353 1.90942259 -1.14232278 109.401856 -65.450274
    Unten rechts KachelX + 1 105369 KachelY + 1 97353 1.90947052 -1.14232278 109.404602 -65.450274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14232278) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14232278) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90942259-1.90947052) × cos(-1.14230286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 126.878211357136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90942259-1.90947052) × cos(-1.14232278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.415482823619345 × 6371000     		du = 126.872678450613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14232278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415482823619345)×R²
    abs(1.90947052-1.90942259)×1.81191699682448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81191699682448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81191699682448e-05×40589641000000     		ar = 16101.8033132129m²