Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105367 / 97352
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E109.399109°		 ← 126.90 m → S 65.449133°
E109.401856°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.450274°
E109.399109°		 ← 126.90 m →
16 105 m²		 S 65.450274°
E109.401856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803890228271484 y=0.742740631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803890228271484 × 217)
    floor (0.803890228271484 × 131072)
    floor (105367.5)     		tx = 105367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742740631103516 × 217)
    floor (0.742740631103516 × 131072)
    floor (97352.5)     		ty = 97352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105367 / 97352 ti = "17/105367/97352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105367/97352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105367 ÷ 217
    105367 ÷ 131072     		x = 0.803886413574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97352 ÷ 217
    97352 ÷ 131072     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803886413574219 × 2 - 1) × π
    0.607772827148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.90937465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90937465} λ = 1.90937465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90937465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.399109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105367 KachelY 97352 1.90937465 -1.14230286 109.399109 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 105368 KachelY 97352 1.90942259 -1.14230286 109.401856 -65.449133
    Unten links KachelX 105367 KachelY + 1 97353 1.90937465 -1.14232278 109.399109 -65.450274
    Unten rechts KachelX + 1 105368 KachelY + 1 97353 1.90942259 -1.14232278 109.401856 -65.450274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14232278) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14232278) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90937465-1.90942259) × cos(-1.14230286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 126.90468292204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90937465-1.90942259) × cos(-1.14232278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415482823619345 × 6371000     		du = 126.899148861145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14232278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415482823619345)×R²
    abs(1.90942259-1.90937465)×1.81191699682448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81191699682448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81191699682448e-05×40589641000000     		ar = 16105.162754735m²