Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105366 / 97349
↖ ↑ ↗
← S 65.445709°
E109.396362°		 ← 126.92 m → S 65.445709°
E109.399109°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.446850°
E109.396362°		 ← 126.92 m →
16 107 m²		 S 65.446850°
E109.399109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803882598876953 y=0.742717742919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803882598876953 × 217)
    floor (0.803882598876953 × 131072)
    floor (105366.5)     		tx = 105366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742717742919922 × 217)
    floor (0.742717742919922 × 131072)
    floor (97349.5)     		ty = 97349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105366 / 97349 ti = "17/105366/97349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105366/97349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105366 ÷ 217
    105366 ÷ 131072     		x = 0.803878784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97349 ÷ 217
    97349 ÷ 131072     		y = 0.742713928222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803878784179688 × 2 - 1) × π
    0.607757568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90932671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742713928222656 × 2 - 1) × π
    -0.485427856445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52501658761285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90932671} λ = 1.90932671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52501658761285))-π/2
    2×atan(0.217617447081333)-π/2
    2×0.214276611160687-π/2
    0.428553222321374-1.57079632675     		φ = -1.14224310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90932671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.396362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14224310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.445709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105366 KachelY 97349 1.90932671 -1.14224310 109.396362 -65.445709
    Oben rechts KachelX + 1 105367 KachelY 97349 1.90937465 -1.14224310 109.399109 -65.445709
    Unten links KachelX 105366 KachelY + 1 97350 1.90932671 -1.14226302 109.396362 -65.446850
    Unten rechts KachelX + 1 105367 KachelY + 1 97350 1.90937465 -1.14226302 109.399109 -65.446850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14224310--1.14226302) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14224310--1.14226302) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90932671-1.90937465) × cos(-1.14224310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415555299309949 × 6371000     		do = 126.921284802579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90932671-1.90937465) × cos(-1.14226302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415537180634623 × 6371000     		du = 126.91575089276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14224310)-sin(-1.14226302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415555299309949-0.415537180634623)×R²
    abs(1.90937465-1.90932671)×1.81186753263618e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81186753263618e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81186753263618e-05×40589641000000     		ar = 16107.269714376m²