Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105357 / 97355
↖ ↑ ↗
← S 65.452556°
E109.371643°		 ← 126.89 m → S 65.452556°
E109.374390°		 →
↑
126.91 m
↓
↑
126.91 m
↓
S 65.453698°
E109.371643°		 ← 126.88 m →
16 103 m²		 S 65.453698°
E109.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803813934326172 y=0.742763519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803813934326172 × 217)
    floor (0.803813934326172 × 131072)
    floor (105357.5)     		tx = 105357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742763519287109 × 217)
    floor (0.742763519287109 × 131072)
    floor (97355.5)     		ty = 97355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105357 / 97355 ti = "17/105357/97355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105357/97355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105357 ÷ 217
    105357 ÷ 131072     		x = 0.803810119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97355 ÷ 217
    97355 ÷ 131072     		y = 0.742759704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803810119628906 × 2 - 1) × π
    0.607620239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.90889528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742759704589844 × 2 - 1) × π
    -0.485519409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52530420901057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90889528} λ = 1.90889528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52530420901057))-π/2
    2×atan(0.21755486464749)-π/2
    2×0.214216857679836-π/2
    0.428433715359673-1.57079632675     		φ = -1.14236261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90889528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.371643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14236261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.452556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105357 KachelY 97355 1.90889528 -1.14236261 109.371643 -65.452556
    Oben rechts KachelX + 1 105358 KachelY 97355 1.90894322 -1.14236261 109.374390 -65.452556
    Unten links KachelX 105357 KachelY + 1 97356 1.90889528 -1.14238253 109.371643 -65.453698
    Unten rechts KachelX + 1 105358 KachelY + 1 97356 1.90894322 -1.14238253 109.374390 -65.453698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14236261--1.14238253) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dl = 126.910319999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14236261--1.14238253) × R
    1.99199999999511e-05 × 6371000     		dr = 126.910319999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90889528-1.90894322) × cos(-1.14236261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415446593880993 × 6371000     		do = 126.888083366498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90889528-1.90894322) × cos(-1.14238253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41542847421653 × 6371000     		du = 126.882549154571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14236261)-sin(-1.14238253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415446593880993-0.41542847421653)×R²
    abs(1.90894322-1.90889528)×1.81196644626902e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81196644626902e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81196644626902e-05×40589641000000     		ar = 16103.0560904133m²