Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105357 / 43659
↖ ↑ ↗
← N 51.380352°
E109.371643°		 ← 190.63 m → N 51.380352°
E109.374390°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.378638°
E109.371643°		 ← 190.64 m →
36 339 m²		 N 51.378638°
E109.374390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803813934326172 y=0.333095550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803813934326172 × 217)
    floor (0.803813934326172 × 131072)
    floor (105357.5)     		tx = 105357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333095550537109 × 217)
    floor (0.333095550537109 × 131072)
    floor (43659.5)     		ty = 43659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105357 / 43659 ti = "17/105357/43659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105357/43659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105357 ÷ 217
    105357 ÷ 131072     		x = 0.803810119628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43659 ÷ 217
    43659 ÷ 131072     		y = 0.333091735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803810119628906 × 2 - 1) × π
    0.607620239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.90889528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333091735839844 × 2 - 1) × π
    0.333816528320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.04871555298797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90889528} λ = 1.90889528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04871555298797))-π/2
    2×atan(2.8539829728965)-π/2
    2×1.2337763247241-π/2
    2.4675526494482-1.57079632675     		φ = 0.89675632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90889528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.371643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89675632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.380352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105357 KachelY 43659 1.90889528 0.89675632 109.371643 51.380352
    Oben rechts KachelX + 1 105358 KachelY 43659 1.90894322 0.89675632 109.374390 51.380352
    Unten links KachelX 105357 KachelY + 1 43660 1.90889528 0.89672640 109.371643 51.378638
    Unten rechts KachelX + 1 105358 KachelY + 1 43660 1.90894322 0.89672640 109.374390 51.378638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89675632-0.89672640) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89675632-0.89672640) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90889528-1.90894322) × cos(0.89675632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624147555525968 × 6371000     		do = 190.630729015585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90889528-1.90894322) × cos(0.89672640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		du = 190.63786877314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89675632)-sin(0.89672640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624147555525968-0.624170931936729)×R²
    abs(1.90894322-1.90889528)×2.33764107612222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33764107612222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33764107612222e-05×40589641000000     		ar = 36338.771060962m²