Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105355 / 97371
↖ ↑ ↗
← S 65.470807°
E109.366150°		 ← 126.77 m → S 65.470807°
E109.368896°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
S 65.471947°
E109.366150°		 ← 126.77 m →
16 072 m²		 S 65.471947°
E109.368896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803798675537109 y=0.742885589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803798675537109 × 217)
    floor (0.803798675537109 × 131072)
    floor (105355.5)     		tx = 105355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742885589599609 × 217)
    floor (0.742885589599609 × 131072)
    floor (97371.5)     		ty = 97371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105355 / 97371 ti = "17/105355/97371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105355/97371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105355 ÷ 217
    105355 ÷ 131072     		x = 0.803794860839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97371 ÷ 217
    97371 ÷ 131072     		y = 0.742881774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803794860839844 × 2 - 1) × π
    0.607589721679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.90879941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742881774902344 × 2 - 1) × π
    -0.485763549804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52607119940449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90879941} λ = 1.90879941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52607119940449))-π/2
    2×atan(0.217388066130762)-π/2
    2×0.214057591473608-π/2
    0.428115182947216-1.57079632675     		φ = -1.14268114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90879941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.366150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14268114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.470807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105355 KachelY 97371 1.90879941 -1.14268114 109.366150 -65.470807
    Oben rechts KachelX + 1 105356 KachelY 97371 1.90884734 -1.14268114 109.368896 -65.470807
    Unten links KachelX 105355 KachelY + 1 97372 1.90879941 -1.14270104 109.366150 -65.471947
    Unten rechts KachelX + 1 105356 KachelY + 1 97372 1.90884734 -1.14270104 109.368896 -65.471947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14268114--1.14270104) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dl = 126.782899999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14268114--1.14270104) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dr = 126.782899999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90879941-1.90884734) × cos(-1.14268114) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.415156832324735 × 6371000     		do = 126.773133086541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90879941-1.90884734) × cos(-1.14270104) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.415138728220354 × 6371000     		du = 126.767604780476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14268114)-sin(-1.14270104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415156832324735-0.415138728220354)×R²
    abs(1.90884734-1.90879941)×1.81041043808561e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.81041043808561e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.81041043808561e-05×40589641000000     		ar = 16072.315007923m²