Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105319 / 97437
↖ ↑ ↗
← S 65.545956°
E109.267273°		 ← 126.41 m → S 65.545956°
E109.270019°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.547093°
E109.267273°		 ← 126.40 m →
15 986 m²		 S 65.547093°
E109.270019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803524017333984 y=0.743389129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803524017333984 × 217)
    floor (0.803524017333984 × 131072)
    floor (105319.5)     		tx = 105319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743389129638672 × 217)
    floor (0.743389129638672 × 131072)
    floor (97437.5)     		ty = 97437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105319 / 97437 ti = "17/105319/97437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105319/97437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105319 ÷ 217
    105319 ÷ 131072     		x = 0.803520202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97437 ÷ 217
    97437 ÷ 131072     		y = 0.743385314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803520202636719 × 2 - 1) × π
    0.607040405273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.90707368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743385314941406 × 2 - 1) × π
    -0.486770629882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.52923503477941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90707368} λ = 1.90707368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52923503477941))-π/2
    2×atan(0.216701372941961)-π/2
    2×0.213401791977655-π/2
    0.42680358395531-1.57079632675     		φ = -1.14399274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90707368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.267273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14399274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.545956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105319 KachelY 97437 1.90707368 -1.14399274 109.267273 -65.545956
    Oben rechts KachelX + 1 105320 KachelY 97437 1.90712161 -1.14399274 109.270019 -65.545956
    Unten links KachelX 105319 KachelY + 1 97438 1.90707368 -1.14401259 109.267273 -65.547093
    Unten rechts KachelX + 1 105320 KachelY + 1 97438 1.90712161 -1.14401259 109.270019 -65.547093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14399274--1.14401259) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14399274--1.14401259) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90707368-1.90712161) × cos(-1.14399274) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413963247656811 × 6371000     		do = 126.408657649368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90707368-1.90712161) × cos(-1.14401259) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413945178247391 × 6371000     		du = 126.403139937827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14399274)-sin(-1.14401259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413963247656811-0.413945178247391)×R²
    abs(1.90712161-1.90707368)×1.80694094202849e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80694094202849e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80694094202849e-05×40589641000000     		ar = 15985.8398274823m²