Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105315 / 97453
↖ ↑ ↗
← S 65.564141°
E109.256287°		 ← 126.35 m → S 65.564141°
E109.259033°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.565278°
E109.256287°		 ← 126.34 m →
15 962 m²		 S 65.565278°
E109.259033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803493499755859 y=0.743511199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803493499755859 × 217)
    floor (0.803493499755859 × 131072)
    floor (105315.5)     		tx = 105315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743511199951172 × 217)
    floor (0.743511199951172 × 131072)
    floor (97453.5)     		ty = 97453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105315 / 97453 ti = "17/105315/97453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105315/97453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105315 ÷ 217
    105315 ÷ 131072     		x = 0.803489685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97453 ÷ 217
    97453 ÷ 131072     		y = 0.743507385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803489685058594 × 2 - 1) × π
    0.606979370117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.90688193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743507385253906 × 2 - 1) × π
    -0.487014770507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53000202517333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90688193} λ = 1.90688193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53000202517333))-π/2
    2×atan(0.216535228794192)-π/2
    2×0.213243094470788-π/2
    0.426486188941576-1.57079632675     		φ = -1.14431014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90688193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.256287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14431014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.564141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105315 KachelY 97453 1.90688193 -1.14431014 109.256287 -65.564141
    Oben rechts KachelX + 1 105316 KachelY 97453 1.90692987 -1.14431014 109.259033 -65.564141
    Unten links KachelX 105315 KachelY + 1 97454 1.90688193 -1.14432997 109.256287 -65.565278
    Unten rechts KachelX + 1 105316 KachelY + 1 97454 1.90692987 -1.14432997 109.259033 -65.565278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14431014--1.14432997) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14431014--1.14432997) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90688193-1.90692987) × cos(-1.14431014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413674299622624 × 6371000     		do = 126.346779081139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90688193-1.90692987) × cos(-1.14432997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413656245814704 × 6371000     		du = 126.341264983495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14431014)-sin(-1.14432997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413674299622624-0.413656245814704)×R²
    abs(1.90692987-1.90688193)×1.80538079201931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80538079201931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80538079201931e-05×40589641000000     		ar = 15961.9158679054m²