Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105311 / 97374
↖ ↑ ↗
← S 65.474227°
E109.245300°		 ← 126.78 m → S 65.474227°
E109.248047°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
S 65.475367°
E109.245300°		 ← 126.78 m →
16 074 m²		 S 65.475367°
E109.248047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803462982177734 y=0.742908477783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803462982177734 × 217)
    floor (0.803462982177734 × 131072)
    floor (105311.5)     		tx = 105311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742908477783203 × 217)
    floor (0.742908477783203 × 131072)
    floor (97374.5)     		ty = 97374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105311 / 97374 ti = "17/105311/97374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105311/97374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105311 ÷ 217
    105311 ÷ 131072     		x = 0.803459167480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97374 ÷ 217
    97374 ÷ 131072     		y = 0.742904663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803459167480469 × 2 - 1) × π
    0.606918334960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.90669018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742904663085938 × 2 - 1) × π
    -0.485809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52621501010335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90669018} λ = 1.90669018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52621501010335))-π/2
    2×atan(0.217356805648898)-π/2
    2×0.21402774142949-π/2
    0.42805548285898-1.57079632675     		φ = -1.14274084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90669018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.245300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14274084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.474227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105311 KachelY 97374 1.90669018 -1.14274084 109.245300 -65.474227
    Oben rechts KachelX + 1 105312 KachelY 97374 1.90673812 -1.14274084 109.248047 -65.474227
    Unten links KachelX 105311 KachelY + 1 97375 1.90669018 -1.14276074 109.245300 -65.475367
    Unten rechts KachelX + 1 105312 KachelY + 1 97375 1.90673812 -1.14276074 109.248047 -65.475367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14274084--1.14276074) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dl = 126.782899999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14274084--1.14276074) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dr = 126.782899999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90669018-1.90673812) × cos(-1.14274084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415102519518402 × 6371000     		do = 126.782994199689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90669018-1.90673812) × cos(-1.14276074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415084414920845 × 6371000     		du = 126.777464589583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14274084)-sin(-1.14276074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415102519518402-0.415084414920845)×R²
    abs(1.90673812-1.90669018)×1.81045975566341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81045975566341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81045975566341e-05×40589641000000     		ar = 16073.5651455527m²