Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10527 / 6688
↖ ↑ ↗
← N 80.618424°
W122.173462°		 ← 99.56 m → N 80.618424°
W122.167969°		 →
↑
99.58 m
↓
↑
99.58 m
↓
N 80.617529°
W122.173462°		 ← 99.57 m →
9 915 m²		 N 80.617529°
W122.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160636901855469 y=0.102058410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160636901855469 × 216)
    floor (0.160636901855469 × 65536)
    floor (10527.5)     		tx = 10527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102058410644531 × 216)
    floor (0.102058410644531 × 65536)
    floor (6688.5)     		ty = 6688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10527 / 6688 ti = "16/10527/6688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10527/6688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10527 ÷ 216
    10527 ÷ 65536     		x = 0.160629272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6688 ÷ 216
    6688 ÷ 65536     		y = 0.10205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160629272460938 × 2 - 1) × π
    -0.678741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13232917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10205078125 × 2 - 1) × π
    0.7958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50038868418213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13232917} λ = -2.13232917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50038868418213))-π/2
    2×atan(12.1872300237617)-π/2
    2×1.48892663339392-π/2
    2.97785326678783-1.57079632675     		φ = 1.40705694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13232917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.173462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40705694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.618424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10527 KachelY 6688 -2.13232917 1.40705694 -122.173462 80.618424
    Oben rechts KachelX + 1 10528 KachelY 6688 -2.13223330 1.40705694 -122.167969 80.618424
    Unten links KachelX 10527 KachelY + 1 6689 -2.13232917 1.40704131 -122.173462 80.617529
    Unten rechts KachelX + 1 10528 KachelY + 1 6689 -2.13223330 1.40704131 -122.167969 80.617529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40705694-1.40704131) × R
    1.56299999998222e-05 × 6371000     		dl = 99.5787299988671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40705694-1.40704131) × R
    1.56299999998222e-05 × 6371000     		dr = 99.5787299988671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13232917--2.13223330) × cos(1.40705694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163008708804902 × 6371000     		do = 99.5637257415231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13232917--2.13223330) × cos(1.40704131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163024129727959 × 6371000     		du = 99.5731446527288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40705694)-sin(1.40704131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163008708804902-0.163024129727959)×R²
    abs(-2.13223330--2.13232917)×1.54209230574798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54209230574798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54209230574798e-05×40589641000000     		ar = 9914.89832497944m²