Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105260 / 100060
↖ ↑ ↗
← S 68.362750°
E109.105225°		 ← 112.62 m → S 68.362750°
E109.107971°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.363763°
E109.105225°		 ← 112.61 m →
12 685 m²		 S 68.363763°
E109.107971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803073883056641 y=0.763401031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803073883056641 × 217)
    floor (0.803073883056641 × 131072)
    floor (105260.5)     		tx = 105260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763401031494141 × 217)
    floor (0.763401031494141 × 131072)
    floor (100060.5)     		ty = 100060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105260 / 100060 ti = "17/105260/100060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105260/100060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105260 ÷ 217
    105260 ÷ 131072     		x = 0.803070068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100060 ÷ 217
    100060 ÷ 131072     		y = 0.763397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803070068359375 × 2 - 1) × π
    0.60614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90424540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.52679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65497352248282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90424540} λ = 1.90424540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65497352248282))-π/2
    2×atan(0.191097115415637)-π/2
    2×0.188820622628522-π/2
    0.377641245257045-1.57079632675     		φ = -1.19315508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90424540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.105225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19315508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.362750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105260 KachelY 100060 1.90424540 -1.19315508 109.105225 -68.362750
    Oben rechts KachelX + 1 105261 KachelY 100060 1.90429334 -1.19315508 109.107971 -68.362750
    Unten links KachelX 105260 KachelY + 1 100061 1.90424540 -1.19317276 109.105225 -68.363763
    Unten rechts KachelX + 1 105261 KachelY + 1 100061 1.90429334 -1.19317276 109.107971 -68.363763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19315508--1.19317276) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19315508--1.19317276) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90424540-1.90429334) × cos(-1.19315508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368728948910838 × 6371000     		do = 112.619312080441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90424540-1.90429334) × cos(-1.19317276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368712514639736 × 6371000     		du = 112.614292631028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19315508)-sin(-1.19317276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368728948910838-0.368712514639736)×R²
    abs(1.90429334-1.90424540)×1.64342711022614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64342711022614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64342711022614e-05×40589641000000     		ar = 12685.0755334628m²