Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105257 / 99783
↖ ↑ ↗
← S 68.080483°
E109.096985°		 ← 114.02 m → S 68.080483°
E109.099732°		 →
↑
113.98 m
↓
↑
113.98 m
↓
S 68.081508°
E109.096985°		 ← 114.01 m →
12 995 m²		 S 68.081508°
E109.099732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.803050994873047 y=0.761287689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.803050994873047 × 217)
    floor (0.803050994873047 × 131072)
    floor (105257.5)     		tx = 105257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761287689208984 × 217)
    floor (0.761287689208984 × 131072)
    floor (99783.5)     		ty = 99783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105257 / 99783 ti = "17/105257/99783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105257/99783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105257 ÷ 217
    105257 ÷ 131072     		x = 0.803047180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99783 ÷ 217
    99783 ÷ 131072     		y = 0.761283874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.803047180175781 × 2 - 1) × π
    0.606094360351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.90410159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761283874511719 × 2 - 1) × π
    -0.522567749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.64169500128806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90410159} λ = 1.90410159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64169500128806))-π/2
    2×atan(0.193651524367156)-π/2
    2×0.191283870840195-π/2
    0.382567741680391-1.57079632675     		φ = -1.18822859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90410159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.096985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18822859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.080483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105257 KachelY 99783 1.90410159 -1.18822859 109.096985 -68.080483
    Oben rechts KachelX + 1 105258 KachelY 99783 1.90414953 -1.18822859 109.099732 -68.080483
    Unten links KachelX 105257 KachelY + 1 99784 1.90410159 -1.18824648 109.096985 -68.081508
    Unten rechts KachelX + 1 105258 KachelY + 1 99784 1.90414953 -1.18824648 109.099732 -68.081508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18822859--1.18824648) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dl = 113.977190000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18822859--1.18824648) × R
    1.78900000000759e-05 × 6371000     		dr = 113.977190000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90410159-1.90414953) × cos(-1.18822859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373303810358377 × 6371000     		do = 114.016592523452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90410159-1.90414953) × cos(-1.18824648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.373287213581963 × 6371000     		du = 114.011523440734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18822859)-sin(-1.18824648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373303810358377-0.373287213581963)×R²
    abs(1.90414953-1.90410159)×1.65967764134689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65967764134689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65967764134689e-05×40589641000000     		ar = 12995.0019498163m²