Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105239 / 99807
↖ ↑ ↗
← S 68.105078°
E109.047547°		 ← 113.87 m → S 68.105078°
E109.050293°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.106101°
E109.047547°		 ← 113.87 m →
12 964 m²		 S 68.106101°
E109.050293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802913665771484 y=0.761470794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802913665771484 × 217)
    floor (0.802913665771484 × 131072)
    floor (105239.5)     		tx = 105239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761470794677734 × 217)
    floor (0.761470794677734 × 131072)
    floor (99807.5)     		ty = 99807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105239 / 99807 ti = "17/105239/99807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105239/99807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105239 ÷ 217
    105239 ÷ 131072     		x = 0.802909851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99807 ÷ 217
    99807 ÷ 131072     		y = 0.761466979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802909851074219 × 2 - 1) × π
    0.605819702148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.90323873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761466979980469 × 2 - 1) × π
    -0.522933959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64284548687894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90323873} λ = 1.90323873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64284548687894))-π/2
    2×atan(0.193428859189818)-π/2
    2×0.191069245073898-π/2
    0.382138490147795-1.57079632675     		φ = -1.18865784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90323873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.047547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18865784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.105078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105239 KachelY 99807 1.90323873 -1.18865784 109.047547 -68.105078
    Oben rechts KachelX + 1 105240 KachelY 99807 1.90328666 -1.18865784 109.050293 -68.105078
    Unten links KachelX 105239 KachelY + 1 99808 1.90323873 -1.18867571 109.047547 -68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 105240 KachelY + 1 99808 1.90328666 -1.18867571 109.050293 -68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18865784--1.18867571) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18865784--1.18867571) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90323873-1.90328666) × cos(-1.18865784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372905556826738 × 6371000     		do = 113.871197830963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90323873-1.90328666) × cos(-1.18867571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 113.866134597491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18865784)-sin(-1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372905556826738-0.372888975742732)×R²
    abs(1.90328666-1.90323873)×1.65810840065395e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65810840065395e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65810840065395e-05×40589641000000     		ar = 12963.921459068m²