Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105237 / 99805
↖ ↑ ↗
← S 68.103029°
E109.042053°		 ← 113.91 m → S 68.103029°
E109.044800°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.104053°
E109.042053°		 ← 113.90 m →
12 975 m²		 S 68.104053°
E109.044800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802898406982422 y=0.761455535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802898406982422 × 217)
    floor (0.802898406982422 × 131072)
    floor (105237.5)     		tx = 105237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761455535888672 × 217)
    floor (0.761455535888672 × 131072)
    floor (99805.5)     		ty = 99805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105237 / 99805 ti = "17/105237/99805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105237/99805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105237 ÷ 217
    105237 ÷ 131072     		x = 0.802894592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99805 ÷ 217
    99805 ÷ 131072     		y = 0.761451721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802894592285156 × 2 - 1) × π
    0.605789184570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.90314285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761451721191406 × 2 - 1) × π
    -0.522903442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.6427496130797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90314285} λ = 1.90314285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6427496130797))-π/2
    2×atan(0.193447404838438)-π/2
    2×0.191087121805419-π/2
    0.382174243610838-1.57079632675     		φ = -1.18862208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90314285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.042053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18862208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.103029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105237 KachelY 99805 1.90314285 -1.18862208 109.042053 -68.103029
    Oben rechts KachelX + 1 105238 KachelY 99805 1.90319079 -1.18862208 109.044800 -68.103029
    Unten links KachelX 105237 KachelY + 1 99806 1.90314285 -1.18863996 109.042053 -68.104053
    Unten rechts KachelX + 1 105238 KachelY + 1 99806 1.90319079 -1.18863996 109.044800 -68.104053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18862208--1.18863996) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18862208--1.18863996) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90314285-1.90319079) × cos(-1.18862208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372938737194618 × 6371000     		do = 113.905089782257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90314285-1.90319079) × cos(-1.18863996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372922147070289 × 6371000     		du = 113.900022731257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18862208)-sin(-1.18863996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372938737194618-0.372922147070289)×R²
    abs(1.90319079-1.90314285)×1.65901243292521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65901243292521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65901243292521e-05×40589641000000     		ar = 12975.0365643258m²