Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105218 / 99826
↖ ↑ ↗
← S 68.124529°
E108.989868°		 ← 113.80 m → S 68.124529°
E108.992615°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
S 68.125553°
E108.989868°		 ← 113.79 m →
12 948 m²		 S 68.125553°
E108.992615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802753448486328 y=0.761615753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802753448486328 × 217)
    floor (0.802753448486328 × 131072)
    floor (105218.5)     		tx = 105218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761615753173828 × 217)
    floor (0.761615753173828 × 131072)
    floor (99826.5)     		ty = 99826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105218 / 99826 ti = "17/105218/99826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105218/99826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105218 ÷ 217
    105218 ÷ 131072     		x = 0.802749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99826 ÷ 217
    99826 ÷ 131072     		y = 0.761611938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802749633789062 × 2 - 1) × π
    0.605499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90223205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761611938476562 × 2 - 1) × π
    -0.523223876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64375628797173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90223205} λ = 1.90223205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64375628797173))-π/2
    2×atan(0.19325276417943)-π/2
    2×0.190899495419604-π/2
    0.381798990839207-1.57079632675     		φ = -1.18899734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90223205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18899734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.124529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105218 KachelY 99826 1.90223205 -1.18899734 108.989868 -68.124529
    Oben rechts KachelX + 1 105219 KachelY 99826 1.90227999 -1.18899734 108.992615 -68.124529
    Unten links KachelX 105218 KachelY + 1 99827 1.90223205 -1.18901520 108.989868 -68.125553
    Unten rechts KachelX + 1 105219 KachelY + 1 99827 1.90227999 -1.18901520 108.992615 -68.125553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18899734--1.18901520) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18899734--1.18901520) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90223205-1.90227999) × cos(-1.18899734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372590523713418 × 6371000     		do = 113.798736422084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90223205-1.90227999) × cos(-1.18901520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372573949648075 × 6371000     		du = 113.793674275911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18899734)-sin(-1.18901520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372590523713418-0.372573949648075)×R²
    abs(1.90227999-1.90223205)×1.65740653432778e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65740653432778e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65740653432778e-05×40589641000000     		ar = 12948.4218500775m²