Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105218 / 99808
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E108.989868°		 ← 113.89 m → S 68.106101°
E108.992615°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.107126°
E108.989868°		 ← 113.88 m →
12 973 m²		 S 68.107126°
E108.992615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802753448486328 y=0.761478424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802753448486328 × 217)
    floor (0.802753448486328 × 131072)
    floor (105218.5)     		tx = 105218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761478424072266 × 217)
    floor (0.761478424072266 × 131072)
    floor (99808.5)     		ty = 99808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105218 / 99808 ti = "17/105218/99808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105218/99808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105218 ÷ 217
    105218 ÷ 131072     		x = 0.802749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99808 ÷ 217
    99808 ÷ 131072     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802749633789062 × 2 - 1) × π
    0.605499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90223205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90223205} λ = 1.90223205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90223205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.989868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105218 KachelY 99808 1.90223205 -1.18867571 108.989868 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 105219 KachelY 99808 1.90227999 -1.18867571 108.992615 -68.106101
    Unten links KachelX 105218 KachelY + 1 99809 1.90223205 -1.18869359 108.989868 -68.107126
    Unten rechts KachelX + 1 105219 KachelY + 1 99809 1.90227999 -1.18869359 108.992615 -68.107126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18869359) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18869359) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90223205-1.90227999) × cos(-1.18867571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 113.889891353991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90223205-1.90227999) × cos(-1.18869359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372872385260822 × 6371000     		du = 113.884824193777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18869359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.372872385260822)×R²
    abs(1.90227999-1.90223205)×1.65904819099949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65904819099949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65904819099949e-05×40589641000000     		ar = 12973.3052522637m²