Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105217 / 52482
↖ ↑ ↗
← N 33.719771°
E108.987121°		 ← 254.04 m → N 33.719771°
E108.989868°		 →
↑
254.01 m
↓
↑
254.01 m
↓
N 33.717486°
E108.987121°		 ← 254.05 m →
64 530 m²		 N 33.717486°
E108.989868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802745819091797 y=0.400409698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802745819091797 × 217)
    floor (0.802745819091797 × 131072)
    floor (105217.5)     		tx = 105217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400409698486328 × 217)
    floor (0.400409698486328 × 131072)
    floor (52482.5)     		ty = 52482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105217 / 52482 ti = "17/105217/52482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105217/52482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105217 ÷ 217
    105217 ÷ 131072     		x = 0.802742004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52482 ÷ 217
    52482 ÷ 131072     		y = 0.400405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802742004394531 × 2 - 1) × π
    0.605484008789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.90218411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400405883789062 × 2 - 1) × π
    0.199188232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.625768287640213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90218411} λ = 1.90218411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625768287640213))-π/2
    2×atan(1.86968185923237)-π/2
    2×1.07965867490929-π/2
    2.15931734981859-1.57079632675     		φ = 0.58852102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90218411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.987121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58852102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.719771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105217 KachelY 52482 1.90218411 0.58852102 108.987121 33.719771
    Oben rechts KachelX + 1 105218 KachelY 52482 1.90223205 0.58852102 108.989868 33.719771
    Unten links KachelX 105217 KachelY + 1 52483 1.90218411 0.58848115 108.987121 33.717486
    Unten rechts KachelX + 1 105218 KachelY + 1 52483 1.90223205 0.58848115 108.989868 33.717486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58852102-0.58848115) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dl = 254.01176999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58852102-0.58848115) × R
    3.98699999999419e-05 × 6371000     		dr = 254.01176999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90218411-1.90223205) × cos(0.58852102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.831762616833741 × 6371000     		do = 254.041712750615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90218411-1.90223205) × cos(0.58848115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.831784749264361 × 6371000     		du = 254.048472564615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58852102)-sin(0.58848115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831762616833741-0.831784749264361)×R²
    abs(1.90223205-1.90218411)×2.21324306202142e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21324306202142e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21324306202142e-05×40589641000000     		ar = 64530.443654167m²