Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105216 / 99825
↖ ↑ ↗
← S 68.123506°
E108.984375°		 ← 113.78 m → S 68.123506°
E108.987121°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.124529°
E108.984375°		 ← 113.77 m →
12 954 m²		 S 68.124529°
E108.987121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802738189697266 y=0.761608123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802738189697266 × 217)
    floor (0.802738189697266 × 131072)
    floor (105216.5)     		tx = 105216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761608123779297 × 217)
    floor (0.761608123779297 × 131072)
    floor (99825.5)     		ty = 99825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105216 / 99825 ti = "17/105216/99825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105216/99825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105216 ÷ 217
    105216 ÷ 131072     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99825 ÷ 217
    99825 ÷ 131072     		y = 0.761604309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761604309082031 × 2 - 1) × π
    -0.523208618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.64370835107211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64370835107211))-π/2
    2×atan(0.193262028339834)-π/2
    2×0.190908426035599-π/2
    0.381816852071198-1.57079632675     		φ = -1.18897947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18897947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.123506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105216 KachelY 99825 1.90213618 -1.18897947 108.984375 -68.123506
    Oben rechts KachelX + 1 105217 KachelY 99825 1.90218411 -1.18897947 108.987121 -68.123506
    Unten links KachelX 105216 KachelY + 1 99826 1.90213618 -1.18899734 108.984375 -68.124529
    Unten rechts KachelX + 1 105217 KachelY + 1 99826 1.90218411 -1.18899734 108.987121 -68.124529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18897947--1.18899734) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18897947--1.18899734) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.90218411) × cos(-1.18897947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372607106939805 × 6371000     		do = 113.780062567635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.90218411) × cos(-1.18899734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372590523713418 × 6371000     		du = 113.774998679962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18897947)-sin(-1.18899734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372607106939805-0.372590523713418)×R²
    abs(1.90218411-1.90213618)×1.65832263863686e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65832263863686e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65832263863686e-05×40589641000000     		ar = 12953.5456929541m²