Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105216 / 52481
↖ ↑ ↗
← N 33.722055°
E108.984375°		 ← 253.98 m → N 33.722055°
E108.987121°		 →
↑
254.01 m
↓
↑
254.01 m
↓
N 33.719771°
E108.984375°		 ← 253.99 m →
64 515 m²		 N 33.719771°
E108.987121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802738189697266 y=0.400402069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802738189697266 × 217)
    floor (0.802738189697266 × 131072)
    floor (105216.5)     		tx = 105216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400402069091797 × 217)
    floor (0.400402069091797 × 131072)
    floor (52481.5)     		ty = 52481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105216 / 52481 ti = "17/105216/52481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105216/52481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105216 ÷ 217
    105216 ÷ 131072     		x = 0.802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52481 ÷ 217
    52481 ÷ 131072     		y = 0.400398254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802734375 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90213618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400398254394531 × 2 - 1) × π
    0.199203491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.625816224539833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90213618} λ = 1.90213618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625816224539833))-π/2
    2×atan(1.86977148813222)-π/2
    2×1.07967861070452-π/2
    2.15935722140905-1.57079632675     		φ = 0.58856089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90213618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58856089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.722055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105216 KachelY 52481 1.90213618 0.58856089 108.984375 33.722055
    Oben rechts KachelX + 1 105217 KachelY 52481 1.90218411 0.58856089 108.987121 33.722055
    Unten links KachelX 105216 KachelY + 1 52482 1.90213618 0.58852102 108.984375 33.719771
    Unten rechts KachelX + 1 105217 KachelY + 1 52482 1.90218411 0.58852102 108.987121 33.719771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58856089-0.58852102) × R
    3.98700000000529e-05 × 6371000     		dl = 254.011770000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58856089-0.58852102) × R
    3.98700000000529e-05 × 6371000     		dr = 254.011770000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90213618-1.90218411) × cos(0.58856089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.831740483080937 × 6371000     		do = 253.981962346931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90213618-1.90218411) × cos(0.58852102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.831762616833741 × 6371000     		du = 253.988721154619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58856089)-sin(0.58852102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831740483080937-0.831762616833741)×R²
    abs(1.90218411-1.90213618)×2.21337528041321e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21337528041321e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21337528041321e-05×40589641000000     		ar = 64515.2662208307m²