Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105215 / 99806
↖ ↑ ↗
← S 68.104053°
E108.981628°		 ← 113.90 m → S 68.104053°
E108.984375°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 68.105078°
E108.981628°		 ← 113.89 m →
12 974 m²		 S 68.105078°
E108.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802730560302734 y=0.761463165283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802730560302734 × 217)
    floor (0.802730560302734 × 131072)
    floor (105215.5)     		tx = 105215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761463165283203 × 217)
    floor (0.761463165283203 × 131072)
    floor (99806.5)     		ty = 99806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105215 / 99806 ti = "17/105215/99806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105215/99806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105215 ÷ 217
    105215 ÷ 131072     		x = 0.802726745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99806 ÷ 217
    99806 ÷ 131072     		y = 0.761459350585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802726745605469 × 2 - 1) × π
    0.605453491210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.90208824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761459350585938 × 2 - 1) × π
    -0.522918701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64279754997932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90208824} λ = 1.90208824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64279754997932))-π/2
    2×atan(0.193438131791873)-π/2
    2×0.191078183240874-π/2
    0.382156366481748-1.57079632675     		φ = -1.18863996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90208824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.981628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18863996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.104053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105215 KachelY 99806 1.90208824 -1.18863996 108.981628 -68.104053
    Oben rechts KachelX + 1 105216 KachelY 99806 1.90213618 -1.18863996 108.984375 -68.104053
    Unten links KachelX 105215 KachelY + 1 99807 1.90208824 -1.18865784 108.981628 -68.105078
    Unten rechts KachelX + 1 105216 KachelY + 1 99807 1.90213618 -1.18865784 108.984375 -68.105078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18863996--1.18865784) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dl = 113.913480000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18863996--1.18865784) × R
    1.78800000001367e-05 × 6371000     		dr = 113.913480000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90208824-1.90213618) × cos(-1.18863996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372922147070289 × 6371000     		do = 113.900022731257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90208824-1.90213618) × cos(-1.18865784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372905556826738 × 6371000     		du = 113.894955643844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18863996)-sin(-1.18865784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372922147070289-0.372905556826738)×R²
    abs(1.90213618-1.90208824)×1.65902435504961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65902435504961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65902435504961e-05×40589641000000     		ar = 12974.4593570405m²