Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105212 / 99637
↖ ↑ ↗
← S 67.930301°
E108.973389°		 ← 114.76 m → S 67.930301°
E108.976135°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 67.931333°
E108.973389°		 ← 114.75 m →
13 167 m²		 S 67.931333°
E108.976135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802707672119141 y=0.760173797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802707672119141 × 217)
    floor (0.802707672119141 × 131072)
    floor (105212.5)     		tx = 105212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760173797607422 × 217)
    floor (0.760173797607422 × 131072)
    floor (99637.5)     		ty = 99637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105212 / 99637 ti = "17/105212/99637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105212/99637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105212 ÷ 217
    105212 ÷ 131072     		x = 0.802703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99637 ÷ 217
    99637 ÷ 131072     		y = 0.760169982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802703857421875 × 2 - 1) × π
    0.60540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.90194443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760169982910156 × 2 - 1) × π
    -0.520339965820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63469621394353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90194443} λ = 1.90194443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63469621394353))-π/2
    2×atan(0.195011604107853)-π/2
    2×0.192594456460961-π/2
    0.385188912921921-1.57079632675     		φ = -1.18560741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90194443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.973389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18560741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.930301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105212 KachelY 99637 1.90194443 -1.18560741 108.973389 -67.930301
    Oben rechts KachelX + 1 105213 KachelY 99637 1.90199237 -1.18560741 108.976135 -67.930301
    Unten links KachelX 105212 KachelY + 1 99638 1.90194443 -1.18562542 108.973389 -67.931333
    Unten rechts KachelX + 1 105213 KachelY + 1 99638 1.90199237 -1.18562542 108.976135 -67.931333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18560741--1.18562542) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dl = 114.741710000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18560741--1.18562542) × R
    1.80100000000127e-05 × 6371000     		dr = 114.741710000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90194443-1.90199237) × cos(-1.18560741) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375734217834106 × 6371000     		do = 114.758901525759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90194443-1.90199237) × cos(-1.18562542) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375717527411495 × 6371000     		du = 114.753803841082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18560741)-sin(-1.18562542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375734217834106-0.375717527411495)×R²
    abs(1.90199237-1.90194443)×1.66904226110987e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66904226110987e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66904226110987e-05×40589641000000     		ar = 13167.3401407452m²