Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105210 / 99643
↖ ↑ ↗
← S 67.936492°
E108.967896°		 ← 114.70 m → S 67.936492°
E108.970642°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.937523°
E108.967896°		 ← 114.70 m →
13 154 m²		 S 67.937523°
E108.970642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802692413330078 y=0.760219573974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802692413330078 × 217)
    floor (0.802692413330078 × 131072)
    floor (105210.5)     		tx = 105210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760219573974609 × 217)
    floor (0.760219573974609 × 131072)
    floor (99643.5)     		ty = 99643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105210 / 99643 ti = "17/105210/99643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105210/99643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105210 ÷ 217
    105210 ÷ 131072     		x = 0.802688598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99643 ÷ 217
    99643 ÷ 131072     		y = 0.760215759277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802688598632812 × 2 - 1) × π
    0.605377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.90184856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760215759277344 × 2 - 1) × π
    -0.520431518554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63498383534126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90184856} λ = 1.90184856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63498383534126))-π/2
    2×atan(0.194955522663206)-π/2
    2×0.192540429061861-π/2
    0.385080858123721-1.57079632675     		φ = -1.18571547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90184856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.967896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18571547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.936492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105210 KachelY 99643 1.90184856 -1.18571547 108.967896 -67.936492
    Oben rechts KachelX + 1 105211 KachelY 99643 1.90189649 -1.18571547 108.970642 -67.936492
    Unten links KachelX 105210 KachelY + 1 99644 1.90184856 -1.18573347 108.967896 -67.937523
    Unten rechts KachelX + 1 105211 KachelY + 1 99644 1.90189649 -1.18573347 108.970642 -67.937523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18571547--1.18573347) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dl = 114.677999999054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18571547--1.18573347) × R
    1.79999999998515e-05 × 6371000     		dr = 114.677999999054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90184856-1.90189649) × cos(-1.18571547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375634073470531 × 6371000     		do = 114.704383212201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90184856-1.90189649) × cos(-1.18573347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375617391584543 × 6371000     		du = 114.699289197631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18571547)-sin(-1.18573347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375634073470531-0.375617391584543)×R²
    abs(1.90189649-1.90184856)×1.66818859880791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66818859880791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66818859880791e-05×40589641000000     		ar = 13153.7771724144m²