Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105204 / 99620
↖ ↑ ↗
← S 67.912750°
E108.951416°		 ← 114.85 m → S 67.912750°
E108.954163°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.913784°
E108.951416°		 ← 114.84 m →
13 192 m²		 S 67.913784°
E108.954163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802646636962891 y=0.760044097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802646636962891 × 217)
    floor (0.802646636962891 × 131072)
    floor (105204.5)     		tx = 105204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760044097900391 × 217)
    floor (0.760044097900391 × 131072)
    floor (99620.5)     		ty = 99620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105204 / 99620 ti = "17/105204/99620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105204/99620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105204 ÷ 217
    105204 ÷ 131072     		x = 0.802642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99620 ÷ 217
    99620 ÷ 131072     		y = 0.760040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802642822265625 × 2 - 1) × π
    0.60528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90156093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.52008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63388128664999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90156093} λ = 1.90156093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63388128664999))-π/2
    2×atan(0.195170589158428)-π/2
    2×0.192747612317279-π/2
    0.385495224634558-1.57079632675     		φ = -1.18530110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90156093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.951416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18530110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.912750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105204 KachelY 99620 1.90156093 -1.18530110 108.951416 -67.912750
    Oben rechts KachelX + 1 105205 KachelY 99620 1.90160887 -1.18530110 108.954163 -67.912750
    Unten links KachelX 105204 KachelY + 1 99621 1.90156093 -1.18531913 108.951416 -67.913784
    Unten rechts KachelX + 1 105205 KachelY + 1 99621 1.90160887 -1.18531913 108.954163 -67.913784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18530110--1.18531913) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dl = 114.869130000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18530110--1.18531913) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dr = 114.869130000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90156093-1.90160887) × cos(-1.18530110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37601806609321 × 6371000     		do = 114.845596089812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90156093-1.90160887) × cos(-1.18531913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376001359211745 × 6371000     		du = 114.840493378178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18530110)-sin(-1.18531913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37601806609321-0.376001359211745)×R²
    abs(1.90160887-1.90156093)×1.6706881464823e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6706881464823e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6706881464823e-05×40589641000000     		ar = 13191.9206356797m²