Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105202 / 99814
↖ ↑ ↗
← S 68.112246°
E108.945923°		 ← 113.86 m → S 68.112246°
E108.948670°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 68.113270°
E108.945923°		 ← 113.85 m →
12 963 m²		 S 68.113270°
E108.948670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802631378173828 y=0.761524200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802631378173828 × 217)
    floor (0.802631378173828 × 131072)
    floor (105202.5)     		tx = 105202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761524200439453 × 217)
    floor (0.761524200439453 × 131072)
    floor (99814.5)     		ty = 99814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105202 / 99814 ti = "17/105202/99814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105202/99814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105202 ÷ 217
    105202 ÷ 131072     		x = 0.802627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99814 ÷ 217
    99814 ÷ 131072     		y = 0.761520385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802627563476562 × 2 - 1) × π
    0.605255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90146506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761520385742188 × 2 - 1) × π
    -0.523040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64318104517628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90146506} λ = 1.90146506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64318104517628))-π/2
    2×atan(0.193363963419938)-π/2
    2×0.191006689035729-π/2
    0.382013378071459-1.57079632675     		φ = -1.18878295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90146506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18878295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.112246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105202 KachelY 99814 1.90146506 -1.18878295 108.945923 -68.112246
    Oben rechts KachelX + 1 105203 KachelY 99814 1.90151300 -1.18878295 108.948670 -68.112246
    Unten links KachelX 105202 KachelY + 1 99815 1.90146506 -1.18880082 108.945923 -68.113270
    Unten rechts KachelX + 1 105203 KachelY + 1 99815 1.90151300 -1.18880082 108.948670 -68.113270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18878295--1.18880082) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18878295--1.18880082) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90146506-1.90151300) × cos(-1.18878295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372789468179938 × 6371000     		do = 113.859499182989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90146506-1.90151300) × cos(-1.18880082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372772886262369 × 6371000     		du = 113.854434638545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18878295)-sin(-1.18880082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372789468179938-0.372772886262369)×R²
    abs(1.90151300-1.90146506)×1.65819175690363e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65819175690363e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65819175690363e-05×40589641000000     		ar = 12962.5894960672m²