Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10520 / 6087
↖ ↑ ↗
← N 81.141561°
W122.211914°		 ← 94.07 m → N 81.141561°
W122.206421°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 81.140715°
W122.211914°		 ← 94.08 m →
8 846 m²		 N 81.140715°
W122.206421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160530090332031 y=0.0928878784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160530090332031 × 216)
    floor (0.160530090332031 × 65536)
    floor (10520.5)     		tx = 10520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928878784179688 × 216)
    floor (0.0928878784179688 × 65536)
    floor (6087.5)     		ty = 6087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10520 / 6087 ti = "16/10520/6087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10520/6087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10520 ÷ 216
    10520 ÷ 65536     		x = 0.1605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6087 ÷ 216
    6087 ÷ 65536     		y = 0.0928802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13300029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928802490234375 × 2 - 1) × π
    0.814239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55800883752544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13300029} λ = -2.13300029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55800883752544))-π/2
    2×atan(12.9100856280135)-π/2
    2×1.4934918656581-π/2
    2.98698373131621-1.57079632675     		φ = 1.41618740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13300029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41618740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.141561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10520 KachelY 6087 -2.13300029 1.41618740 -122.211914 81.141561
    Oben rechts KachelX + 1 10521 KachelY 6087 -2.13290441 1.41618740 -122.206421 81.141561
    Unten links KachelX 10520 KachelY + 1 6088 -2.13300029 1.41617264 -122.211914 81.140715
    Unten rechts KachelX + 1 10521 KachelY + 1 6088 -2.13290441 1.41617264 -122.206421 81.140715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41618740-1.41617264) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41618740-1.41617264) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13300029--2.13290441) × cos(1.41618740) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153993702659662 × 6371000     		do = 94.0672811802728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13300029--2.13290441) × cos(1.41617264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154008286583085 × 6371000     		du = 94.0761897914801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41618740)-sin(1.41617264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153993702659662-0.154008286583085)×R²
    abs(-2.13290441--2.13300029)×1.45839234232392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45839234232392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45839234232392e-05×40589641000000     		ar = 8846.12595563078m²