Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105187 / 99679
↖ ↑ ↗
← S 67.973604°
E108.904724°		 ← 114.52 m → S 67.973604°
E108.907470°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
S 67.974634°
E108.904724°		 ← 114.52 m →
13 118 m²		 S 67.974634°
E108.907470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802516937255859 y=0.760494232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802516937255859 × 217)
    floor (0.802516937255859 × 131072)
    floor (105187.5)     		tx = 105187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760494232177734 × 217)
    floor (0.760494232177734 × 131072)
    floor (99679.5)     		ty = 99679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105187 / 99679 ti = "17/105187/99679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105187/99679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105187 ÷ 217
    105187 ÷ 131072     		x = 0.802513122558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99679 ÷ 217
    99679 ÷ 131072     		y = 0.760490417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802513122558594 × 2 - 1) × π
    0.605026245117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.90074601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760490417480469 × 2 - 1) × π
    -0.520980834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63670956372758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90074601} λ = 1.90074601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63670956372758))-π/2
    2×atan(0.194619372519024)-π/2
    2×0.192216566945207-π/2
    0.384433133890414-1.57079632675     		φ = -1.18636319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90074601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.904724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18636319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.973604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105187 KachelY 99679 1.90074601 -1.18636319 108.904724 -67.973604
    Oben rechts KachelX + 1 105188 KachelY 99679 1.90079394 -1.18636319 108.907470 -67.973604
    Unten links KachelX 105187 KachelY + 1 99680 1.90074601 -1.18638117 108.904724 -67.974634
    Unten rechts KachelX + 1 105188 KachelY + 1 99680 1.90079394 -1.18638117 108.907470 -67.974634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18636319--1.18638117) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18636319--1.18638117) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90074601-1.90079394) × cos(-1.18636319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.37503370850567 × 6371000     		do = 114.52105454779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90074601-1.90079394) × cos(-1.18638117) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375017040784134 × 6371000     		du = 114.515964858506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18636319)-sin(-1.18638117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37503370850567-0.375017040784134)×R²
    abs(1.90079394-1.90074601)×1.66677215355238e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66677215355238e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66677215355238e-05×40589641000000     		ar = 13118.1617075143m²