Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105186 / 99629
↖ ↑ ↗
← S 67.922044°
E108.901978°		 ← 114.80 m → S 67.922044°
E108.904724°		 →
↑
114.74 m
↓
↑
114.74 m
↓
S 67.923076°
E108.901978°		 ← 114.79 m →
13 172 m²		 S 67.923076°
E108.904724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802509307861328 y=0.760112762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802509307861328 × 217)
    floor (0.802509307861328 × 131072)
    floor (105186.5)     		tx = 105186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760112762451172 × 217)
    floor (0.760112762451172 × 131072)
    floor (99629.5)     		ty = 99629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105186 / 99629 ti = "17/105186/99629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105186/99629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105186 ÷ 217
    105186 ÷ 131072     		x = 0.802505493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99629 ÷ 217
    99629 ÷ 131072     		y = 0.760108947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802505493164062 × 2 - 1) × π
    0.605010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90069807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760108947753906 × 2 - 1) × π
    -0.520217895507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63431271874657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90069807} λ = 1.90069807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63431271874657))-π/2
    2×atan(0.195086404463252)-π/2
    2×0.192666515397913-π/2
    0.385333030795827-1.57079632675     		φ = -1.18546330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90069807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.901978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18546330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.922044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105186 KachelY 99629 1.90069807 -1.18546330 108.901978 -67.922044
    Oben rechts KachelX + 1 105187 KachelY 99629 1.90074601 -1.18546330 108.904724 -67.922044
    Unten links KachelX 105186 KachelY + 1 99630 1.90069807 -1.18548131 108.901978 -67.923076
    Unten rechts KachelX + 1 105187 KachelY + 1 99630 1.90074601 -1.18548131 108.904724 -67.923076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18546330--1.18548131) × R
    1.80099999997907e-05 × 6371000     		dl = 114.741709998667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18546330--1.18548131) × R
    1.80099999997907e-05 × 6371000     		dr = 114.741709998667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90069807-1.90074601) × cos(-1.18546330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375867764627305 × 6371000     		do = 114.799690153365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90069807-1.90074601) × cos(-1.18548131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375851075180034 × 6371000     		du = 114.794592766582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18546330)-sin(-1.18548131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375867764627305-0.375851075180034)×R²
    abs(1.90074601-1.90069807)×1.66894472707346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66894472707346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66894472707346e-05×40589641000000     		ar = 13172.0203144334m²