Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105184 / 43422
↖ ↑ ↗
← N 51.784834°
E108.896485°		 ← 188.90 m → N 51.784834°
E108.899231°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
N 51.783135°
E108.896485°		 ← 188.91 m →
35 684 m²		 N 51.783135°
E108.899231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802494049072266 y=0.331287384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802494049072266 × 217)
    floor (0.802494049072266 × 131072)
    floor (105184.5)     		tx = 105184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331287384033203 × 217)
    floor (0.331287384033203 × 131072)
    floor (43422.5)     		ty = 43422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105184 / 43422 ti = "17/105184/43422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105184/43422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105184 ÷ 217
    105184 ÷ 131072     		x = 0.802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43422 ÷ 217
    43422 ÷ 131072     		y = 0.331283569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802490234375 × 2 - 1) × π
    0.60498046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90060220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331283569335938 × 2 - 1) × π
    0.337432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06007659819792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90060220} λ = 1.90060220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06007659819792))-π/2
    2×atan(2.88659208855207)-π/2
    2×1.23730609041009-π/2
    2.47461218082019-1.57079632675     		φ = 0.90381585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90060220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.896485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90381585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.784834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105184 KachelY 43422 1.90060220 0.90381585 108.896485 51.784834
    Oben rechts KachelX + 1 105185 KachelY 43422 1.90065013 0.90381585 108.899231 51.784834
    Unten links KachelX 105184 KachelY + 1 43423 1.90060220 0.90378620 108.896485 51.783135
    Unten rechts KachelX + 1 105185 KachelY + 1 43423 1.90065013 0.90378620 108.899231 51.783135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90381585-0.90378620) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dl = 188.90014999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90381585-0.90378620) × R
    2.96499999999922e-05 × 6371000     		dr = 188.90014999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90060220-1.90065013) × cos(0.90381585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61861639200023 × 6371000     		do = 188.901957252581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90060220-1.90065013) × cos(0.90378620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.618639687530838 × 6371000     		du = 188.909070823098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90381585)-sin(0.90378620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61861639200023-0.618639687530838)×R²
    abs(1.90065013-1.90060220)×2.32955306082028e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32955306082028e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32955306082028e-05×40589641000000     		ar = 35684.2799400413m²