Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105182 / 43423
↖ ↑ ↗
← N 51.783135°
E108.890991°		 ← 188.95 m → N 51.783135°
E108.893738°		 →
↑
188.96 m
↓
↑
188.96 m
↓
N 51.781435°
E108.890991°		 ← 188.96 m →
35 705 m²		 N 51.781435°
E108.893738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802478790283203 y=0.331295013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802478790283203 × 217)
    floor (0.802478790283203 × 131072)
    floor (105182.5)     		tx = 105182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331295013427734 × 217)
    floor (0.331295013427734 × 131072)
    floor (43423.5)     		ty = 43423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105182 / 43423 ti = "17/105182/43423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105182/43423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105182 ÷ 217
    105182 ÷ 131072     		x = 0.802474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43423 ÷ 217
    43423 ÷ 131072     		y = 0.331291198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802474975585938 × 2 - 1) × π
    0.604949951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.90050632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331291198730469 × 2 - 1) × π
    0.337417602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0600286612983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90050632} λ = 1.90050632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0600286612983))-π/2
    2×atan(2.88645371759344)-π/2
    2×1.237291262855-π/2
    2.47458252571-1.57079632675     		φ = 0.90378620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90050632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.890991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90378620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.783135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105182 KachelY 43423 1.90050632 0.90378620 108.890991 51.783135
    Oben rechts KachelX + 1 105183 KachelY 43423 1.90055426 0.90378620 108.893738 51.783135
    Unten links KachelX 105182 KachelY + 1 43424 1.90050632 0.90375654 108.890991 51.781435
    Unten rechts KachelX + 1 105183 KachelY + 1 43424 1.90055426 0.90375654 108.893738 51.781435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90378620-0.90375654) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dl = 188.963859999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90378620-0.90375654) × R
    2.96599999999314e-05 × 6371000     		dr = 188.963859999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90050632-1.90055426) × cos(0.90378620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618639687530838 × 6371000     		do = 188.948484357351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90050632-1.90055426) × cos(0.90375654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.618662990374151 × 6371000     		du = 188.955601645514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90378620)-sin(0.90375654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618639687530838-0.618662990374151)×R²
    abs(1.90055426-1.90050632)×2.33028433127558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33028433127558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33028433127558e-05×40589641000000     		ar = 35705.1074030703m²