Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105179 / 99681
↖ ↑ ↗
← S 67.975664°
E108.882751°		 ← 114.53 m → S 67.975664°
E108.885498°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 67.976694°
E108.882751°		 ← 114.53 m →
13 112 m²		 S 67.976694°
E108.885498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802455902099609 y=0.760509490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802455902099609 × 217)
    floor (0.802455902099609 × 131072)
    floor (105179.5)     		tx = 105179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760509490966797 × 217)
    floor (0.760509490966797 × 131072)
    floor (99681.5)     		ty = 99681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105179 / 99681 ti = "17/105179/99681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105179/99681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105179 ÷ 217
    105179 ÷ 131072     		x = 0.802452087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99681 ÷ 217
    99681 ÷ 131072     		y = 0.760505676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802452087402344 × 2 - 1) × π
    0.604904174804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.90036251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760505676269531 × 2 - 1) × π
    -0.521011352539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63680543752682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90036251} λ = 1.90036251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63680543752682))-π/2
    2×atan(0.194600714514796)-π/2
    2×0.192198589790983-π/2
    0.384397179581965-1.57079632675     		φ = -1.18639915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90036251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.882751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18639915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.975664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105179 KachelY 99681 1.90036251 -1.18639915 108.882751 -67.975664
    Oben rechts KachelX + 1 105180 KachelY 99681 1.90041045 -1.18639915 108.885498 -67.975664
    Unten links KachelX 105179 KachelY + 1 99682 1.90036251 -1.18641712 108.882751 -67.976694
    Unten rechts KachelX + 1 105180 KachelY + 1 99682 1.90041045 -1.18641712 108.885498 -67.976694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18639915--1.18641712) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dl = 114.486870000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18639915--1.18641712) × R
    1.79700000000338e-05 × 6371000     		dr = 114.486870000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90036251-1.90041045) × cos(-1.18639915) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.375000372941363 × 6371000     		do = 114.534766406347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90036251-1.90041045) × cos(-1.18641712) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.374983714247675 × 6371000     		du = 114.5296784125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18639915)-sin(-1.18641712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375000372941363-0.374983714247675)×R²
    abs(1.90041045-1.90036251)×1.66586936874991e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.66586936874991e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.66586936874991e-05×40589641000000     		ar = 13112.4356582087m²