Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105173 / 97367
↖ ↑ ↗
← S 65.466245°
E108.866272°		 ← 126.82 m → S 65.466245°
E108.869019°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
S 65.467386°
E108.866272°		 ← 126.82 m →
16 087 m²		 S 65.467386°
E108.869019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802410125732422 y=0.742855072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802410125732422 × 217)
    floor (0.802410125732422 × 131072)
    floor (105173.5)     		tx = 105173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742855072021484 × 217)
    floor (0.742855072021484 × 131072)
    floor (97367.5)     		ty = 97367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105173 / 97367 ti = "17/105173/97367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105173/97367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105173 ÷ 217
    105173 ÷ 131072     		x = 0.802406311035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97367 ÷ 217
    97367 ÷ 131072     		y = 0.742851257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802406311035156 × 2 - 1) × π
    0.604812622070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.90007489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742851257324219 × 2 - 1) × π
    -0.485702514648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52587945180601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90007489} λ = 1.90007489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52587945180601))-π/2
    2×atan(0.217429753767005)-π/2
    2×0.214097397607863-π/2
    0.428194795215725-1.57079632675     		φ = -1.14260153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90007489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.866272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14260153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.466245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105173 KachelY 97367 1.90007489 -1.14260153 108.866272 -65.466245
    Oben rechts KachelX + 1 105174 KachelY 97367 1.90012283 -1.14260153 108.869019 -65.466245
    Unten links KachelX 105173 KachelY + 1 97368 1.90007489 -1.14262144 108.866272 -65.467386
    Unten rechts KachelX + 1 105174 KachelY + 1 97368 1.90012283 -1.14262144 108.869019 -65.467386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14260153--1.14262144) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14260153--1.14262144) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90007489-1.90012283) × cos(-1.14260153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415229256195293 × 6371000     		do = 126.821702843014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90007489-1.90012283) × cos(-1.14262144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415211143651412 × 6371000     		du = 126.816170805896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14260153)-sin(-1.14262144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415229256195293-0.415211143651412)×R²
    abs(1.90012283-1.90007489)×1.81125438810104e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81125438810104e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81125438810104e-05×40589641000000     		ar = 16086.5522203571m²