Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105172 / 99862
↖ ↑ ↗
← S 68.161340°
E108.863525°		 ← 113.62 m → S 68.161340°
E108.866272°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.162362°
E108.863525°		 ← 113.61 m →
12 906 m²		 S 68.162362°
E108.866272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802402496337891 y=0.761890411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802402496337891 × 217)
    floor (0.802402496337891 × 131072)
    floor (105172.5)     		tx = 105172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761890411376953 × 217)
    floor (0.761890411376953 × 131072)
    floor (99862.5)     		ty = 99862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105172 / 99862 ti = "17/105172/99862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105172/99862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105172 ÷ 217
    105172 ÷ 131072     		x = 0.802398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99862 ÷ 217
    99862 ÷ 131072     		y = 0.761886596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802398681640625 × 2 - 1) × π
    0.60479736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.90002695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761886596679688 × 2 - 1) × π
    -0.523773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64548201635805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.90002695} λ = 1.90002695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64548201635805))-π/2
    2×atan(0.192919549999831)-π/2
    2×0.190578257711605-π/2
    0.38115651542321-1.57079632675     		φ = -1.18963981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.90002695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.863525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18963981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.161340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105172 KachelY 99862 1.90002695 -1.18963981 108.863525 -68.161340
    Oben rechts KachelX + 1 105173 KachelY 99862 1.90007489 -1.18963981 108.866272 -68.161340
    Unten links KachelX 105172 KachelY + 1 99863 1.90002695 -1.18965764 108.863525 -68.162362
    Unten rechts KachelX + 1 105173 KachelY + 1 99863 1.90007489 -1.18965764 108.866272 -68.162362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18963981--1.18965764) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18963981--1.18965764) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.90002695-1.90007489) × cos(-1.18963981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371994237362628 × 6371000     		do = 113.616615222142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.90002695-1.90007489) × cos(-1.18965764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371977686872756 × 6371000     		du = 113.611560276525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18963981)-sin(-1.18965764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371994237362628-0.371977686872756)×R²
    abs(1.90007489-1.90002695)×1.65504898721469e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65504898721469e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65504898721469e-05×40589641000000     		ar = 12905.9843453398m²