Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105169 / 99697
↖ ↑ ↗
← S 67.992138°
E108.855285°		 ← 114.45 m → S 67.992138°
E108.858032°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.993167°
E108.855285°		 ← 114.45 m →
13 096 m²		 S 67.993167°
E108.858032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802379608154297 y=0.760631561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802379608154297 × 217)
    floor (0.802379608154297 × 131072)
    floor (105169.5)     		tx = 105169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760631561279297 × 217)
    floor (0.760631561279297 × 131072)
    floor (99697.5)     		ty = 99697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105169 / 99697 ti = "17/105169/99697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105169/99697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105169 ÷ 217
    105169 ÷ 131072     		x = 0.802375793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99697 ÷ 217
    99697 ÷ 131072     		y = 0.760627746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802375793457031 × 2 - 1) × π
    0.604751586914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.89988314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760627746582031 × 2 - 1) × π
    -0.521255493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63757242792074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89988314} λ = 1.89988314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63757242792074))-π/2
    2×atan(0.194451514860778)-π/2
    2×0.192054830064098-π/2
    0.384109660128196-1.57079632675     		φ = -1.18668667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89988314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.855285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18668667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.992138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105169 KachelY 99697 1.89988314 -1.18668667 108.855285 -67.992138
    Oben rechts KachelX + 1 105170 KachelY 99697 1.89993108 -1.18668667 108.858032 -67.992138
    Unten links KachelX 105169 KachelY + 1 99698 1.89988314 -1.18670463 108.855285 -67.993167
    Unten rechts KachelX + 1 105170 KachelY + 1 99698 1.89993108 -1.18670463 108.858032 -67.993167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18668667--1.18670463) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dl = 114.423159999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18668667--1.18670463) × R
    1.79599999998725e-05 × 6371000     		dr = 114.423159999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89988314-1.89993108) × cos(-1.18668667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374733819314566 × 6371000     		do = 114.453354067103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89988314-1.89993108) × cos(-1.18670463) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374717167955475 × 6371000     		du = 114.44826831343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18668667)-sin(-1.18670463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374733819314566-0.374717167955475)×R²
    abs(1.89993108-1.89988314)×1.66513590912909e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66513590912909e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66513590912909e-05×40589641000000     		ar = 13095.8234810503m²