Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105167 / 99695
↖ ↑ ↗
← S 67.990079°
E108.849793°		 ← 114.46 m → S 67.990079°
E108.852539°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.991108°
E108.849793°		 ← 114.46 m →
13 097 m²		 S 67.991108°
E108.852539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802364349365234 y=0.760616302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802364349365234 × 217)
    floor (0.802364349365234 × 131072)
    floor (105167.5)     		tx = 105167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760616302490234 × 217)
    floor (0.760616302490234 × 131072)
    floor (99695.5)     		ty = 99695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105167 / 99695 ti = "17/105167/99695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105167/99695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105167 ÷ 217
    105167 ÷ 131072     		x = 0.802360534667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99695 ÷ 217
    99695 ÷ 131072     		y = 0.760612487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802360534667969 × 2 - 1) × π
    0.604721069335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89978727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760612487792969 × 2 - 1) × π
    -0.521224975585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6374765541215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89978727} λ = 1.89978727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6374765541215))-π/2
    2×atan(0.194470158559983)-π/2
    2×0.192072794440117-π/2
    0.384145588880234-1.57079632675     		φ = -1.18665074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89978727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.849793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18665074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.990079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105167 KachelY 99695 1.89978727 -1.18665074 108.849793 -67.990079
    Oben rechts KachelX + 1 105168 KachelY 99695 1.89983521 -1.18665074 108.852539 -67.990079
    Unten links KachelX 105167 KachelY + 1 99696 1.89978727 -1.18666870 108.849793 -67.991108
    Unten rechts KachelX + 1 105168 KachelY + 1 99696 1.89983521 -1.18666870 108.852539 -67.991108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18665074--1.18666870) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18665074--1.18666870) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89978727-1.89983521) × cos(-1.18665074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374767130941309 × 6371000     		do = 114.463528295351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89978727-1.89983521) × cos(-1.18666870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37475047982404 × 6371000     		du = 114.458442615537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18665074)-sin(-1.18666870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374767130941309-0.37475047982404)×R²
    abs(1.89983521-1.89978727)×1.66511172693395e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66511172693395e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66511172693395e-05×40589641000000     		ar = 13096.9876528271m²