Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105164 / 43342
↖ ↑ ↗
← N 51.920556°
E108.841553°		 ← 188.37 m → N 51.920556°
E108.844300°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
N 51.918862°
E108.841553°		 ← 188.38 m →
35 488 m²		 N 51.918862°
E108.844300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802341461181641 y=0.330677032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802341461181641 × 217)
    floor (0.802341461181641 × 131072)
    floor (105164.5)     		tx = 105164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330677032470703 × 217)
    floor (0.330677032470703 × 131072)
    floor (43342.5)     		ty = 43342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105164 / 43342 ti = "17/105164/43342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105164/43342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105164 ÷ 217
    105164 ÷ 131072     		x = 0.802337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43342 ÷ 217
    43342 ÷ 131072     		y = 0.330673217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802337646484375 × 2 - 1) × π
    0.60467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89964346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330673217773438 × 2 - 1) × π
    0.338653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06391155016753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89964346} λ = 1.89964346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06391155016753))-π/2
    2×atan(2.89768328407551)-π/2
    2×1.23849048612453-π/2
    2.47698097224906-1.57079632675     		φ = 0.90618465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89964346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90618465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.920556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105164 KachelY 43342 1.89964346 0.90618465 108.841553 51.920556
    Oben rechts KachelX + 1 105165 KachelY 43342 1.89969140 0.90618465 108.844300 51.920556
    Unten links KachelX 105164 KachelY + 1 43343 1.89964346 0.90615508 108.841553 51.918862
    Unten rechts KachelX + 1 105165 KachelY + 1 43343 1.89969140 0.90615508 108.844300 51.918862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90618465-0.90615508) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dl = 188.390470000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90618465-0.90615508) × R
    2.95700000000343e-05 × 6371000     		dr = 188.390470000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89964346-1.89969140) × cos(0.90618465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616753508162928 × 6371000     		do = 188.372396628135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89964346-1.89969140) × cos(0.90615508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616776784106381 × 6371000     		du = 188.379505700388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90618465)-sin(0.90615508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616753508162928-0.616776784106381)×R²
    abs(1.89969140-1.89964346)×2.32759434537488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32759434537488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32759434537488e-05×40589641000000     		ar = 35488.2339792015m²