Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105164 / 43340
↖ ↑ ↗
← N 51.923943°
E108.841553°		 ← 188.36 m → N 51.923943°
E108.844300°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
N 51.922250°
E108.841553°		 ← 188.37 m →
35 474 m²		 N 51.922250°
E108.844300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802341461181641 y=0.330661773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802341461181641 × 217)
    floor (0.802341461181641 × 131072)
    floor (105164.5)     		tx = 105164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330661773681641 × 217)
    floor (0.330661773681641 × 131072)
    floor (43340.5)     		ty = 43340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105164 / 43340 ti = "17/105164/43340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105164/43340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105164 ÷ 217
    105164 ÷ 131072     		x = 0.802337646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43340 ÷ 217
    43340 ÷ 131072     		y = 0.330657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802337646484375 × 2 - 1) × π
    0.60467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89964346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330657958984375 × 2 - 1) × π
    0.33868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06400742396677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89964346} λ = 1.89964346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06400742396677))-π/2
    2×atan(2.89796110929882)-π/2
    2×1.23852005026011-π/2
    2.47704010052023-1.57079632675     		φ = 0.90624377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89964346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.841553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90624377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.923943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105164 KachelY 43340 1.89964346 0.90624377 108.841553 51.923943
    Oben rechts KachelX + 1 105165 KachelY 43340 1.89969140 0.90624377 108.844300 51.923943
    Unten links KachelX 105164 KachelY + 1 43341 1.89964346 0.90621421 108.841553 51.922250
    Unten rechts KachelX + 1 105165 KachelY + 1 43341 1.89969140 0.90621421 108.844300 51.922250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90624377-0.90621421) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90624377-0.90621421) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89964346-1.89969140) × cos(0.90624377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616706970402057 × 6371000     		do = 188.358182798083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89964346-1.89969140) × cos(0.90621421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61673023955194 × 6371000     		du = 188.365289795405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90624377)-sin(0.90621421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616706970402057-0.61673023955194)×R²
    abs(1.89969140-1.89964346)×2.32691498828208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32691498828208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32691498828208e-05×40589641000000     		ar = 35473.5555073341m²