Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105159 / 99907
↖ ↑ ↗
← S 68.207271°
E108.827820°		 ← 113.39 m → S 68.207271°
E108.830566°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.208291°
E108.827820°		 ← 113.38 m →
12 858 m²		 S 68.208291°
E108.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802303314208984 y=0.762233734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802303314208984 × 217)
    floor (0.802303314208984 × 131072)
    floor (105159.5)     		tx = 105159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762233734130859 × 217)
    floor (0.762233734130859 × 131072)
    floor (99907.5)     		ty = 99907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105159 / 99907 ti = "17/105159/99907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105159/99907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105159 ÷ 217
    105159 ÷ 131072     		x = 0.802299499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99907 ÷ 217
    99907 ÷ 131072     		y = 0.762229919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802299499511719 × 2 - 1) × π
    0.604598999023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.89940377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762229919433594 × 2 - 1) × π
    -0.524459838867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.64763917684095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89940377} λ = 1.89940377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64763917684095))-π/2
    2×atan(0.192503840107871)-π/2
    2×0.190177433551062-π/2
    0.380354867102124-1.57079632675     		φ = -1.19044146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89940377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.827820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19044146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.207271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105159 KachelY 99907 1.89940377 -1.19044146 108.827820 -68.207271
    Oben rechts KachelX + 1 105160 KachelY 99907 1.89945171 -1.19044146 108.830566 -68.207271
    Unten links KachelX 105159 KachelY + 1 99908 1.89940377 -1.19045926 108.827820 -68.208291
    Unten rechts KachelX + 1 105160 KachelY + 1 99908 1.89945171 -1.19045926 108.830566 -68.208291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19044146--1.19045926) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19044146--1.19045926) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89940377-1.89945171) × cos(-1.19044146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371249998293738 × 6371000     		do = 113.389305453789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89940377-1.89945171) × cos(-1.19045926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37123347034842 × 6371000     		du = 113.38425739386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19044146)-sin(-1.19045926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371249998293738-0.37123347034842)×R²
    abs(1.89945171-1.89940377)×1.65279453180345e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65279453180345e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65279453180345e-05×40589641000000     		ar = 12858.4918836288m²