Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105159 / 43345
↖ ↑ ↗
← N 51.915473°
E108.827820°		 ← 188.39 m → N 51.915473°
E108.830566°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
N 51.913780°
E108.827820°		 ← 188.40 m →
35 480 m²		 N 51.913780°
E108.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802303314208984 y=0.330699920654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802303314208984 × 217)
    floor (0.802303314208984 × 131072)
    floor (105159.5)     		tx = 105159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330699920654297 × 217)
    floor (0.330699920654297 × 131072)
    floor (43345.5)     		ty = 43345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105159 / 43345 ti = "17/105159/43345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105159/43345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105159 ÷ 217
    105159 ÷ 131072     		x = 0.802299499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43345 ÷ 217
    43345 ÷ 131072     		y = 0.330696105957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802299499511719 × 2 - 1) × π
    0.604598999023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.89940377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330696105957031 × 2 - 1) × π
    0.338607788085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06376773946867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89940377} λ = 1.89940377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06376773946867))-π/2
    2×atan(2.89726659618016)-π/2
    2×1.2384461357376-π/2
    2.47689227147519-1.57079632675     		φ = 0.90609594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89940377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.827820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90609594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.915473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105159 KachelY 43345 1.89940377 0.90609594 108.827820 51.915473
    Oben rechts KachelX + 1 105160 KachelY 43345 1.89945171 0.90609594 108.830566 51.915473
    Unten links KachelX 105159 KachelY + 1 43346 1.89940377 0.90606638 108.827820 51.913780
    Unten rechts KachelX + 1 105160 KachelY + 1 43346 1.89945171 0.90606638 108.830566 51.913780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90609594-0.90606638) × R
    2.95600000000951e-05 × 6371000     		dl = 188.326760000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90609594-0.90606638) × R
    2.95600000000951e-05 × 6371000     		dr = 188.326760000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89940377-1.89945171) × cos(0.90609594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616823334375368 × 6371000     		do = 188.393723350741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89940377-1.89945171) × cos(0.90606638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616846600830026 × 6371000     		du = 188.400829524872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90609594)-sin(0.90606638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616823334375368-0.616846600830026)×R²
    abs(1.89945171-1.89940377)×2.32664546578887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32664546578887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32664546578887e-05×40589641000000     		ar = 35480.2486671517m²