Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105158 / 43344
↖ ↑ ↗
← N 51.917167°
E108.825073°		 ← 188.35 m → N 51.917167°
E108.827820°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
N 51.915473°
E108.825073°		 ← 188.35 m →
35 484 m²		 N 51.915473°
E108.827820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802295684814453 y=0.330692291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802295684814453 × 217)
    floor (0.802295684814453 × 131072)
    floor (105158.5)     		tx = 105158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330692291259766 × 217)
    floor (0.330692291259766 × 131072)
    floor (43344.5)     		ty = 43344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105158 / 43344 ti = "17/105158/43344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105158/43344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105158 ÷ 217
    105158 ÷ 131072     		x = 0.802291870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43344 ÷ 217
    43344 ÷ 131072     		y = 0.3306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802291870117188 × 2 - 1) × π
    0.604583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.89935584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3306884765625 × 2 - 1) × π
    0.338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06381567636829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89935584} λ = 1.89935584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06381567636829))-π/2
    2×atan(2.89740548548709)-π/2
    2×1.23846091975773-π/2
    2.47692183951545-1.57079632675     		φ = 0.90612551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89935584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90612551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.917167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105158 KachelY 43344 1.89935584 0.90612551 108.825073 51.917167
    Oben rechts KachelX + 1 105159 KachelY 43344 1.89940377 0.90612551 108.827820 51.917167
    Unten links KachelX 105158 KachelY + 1 43345 1.89935584 0.90609594 108.825073 51.915473
    Unten rechts KachelX + 1 105159 KachelY + 1 43345 1.89940377 0.90609594 108.827820 51.915473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90612551-0.90609594) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dl = 188.390469999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90612551-0.90609594) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dr = 188.390469999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89935584-1.89940377) × cos(0.90612551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616800059510535 × 6371000     		do = 188.347318276373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89935584-1.89940377) × cos(0.90609594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.616823334375368 × 6371000     		du = 188.354425536346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90612551)-sin(0.90609594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616800059510535-0.616823334375368)×R²
    abs(1.89940377-1.89935584)×2.32748648327785e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32748648327785e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32748648327785e-05×40589641000000     		ar = 35483.5092859227m²