Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105157 / 99909
↖ ↑ ↗
← S 68.209311°
E108.822327°		 ← 113.38 m → S 68.209311°
E108.825073°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.210330°
E108.822327°		 ← 113.37 m →
12 857 m²		 S 68.210330°
E108.825073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802288055419922 y=0.762248992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802288055419922 × 217)
    floor (0.802288055419922 × 131072)
    floor (105157.5)     		tx = 105157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762248992919922 × 217)
    floor (0.762248992919922 × 131072)
    floor (99909.5)     		ty = 99909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105157 / 99909 ti = "17/105157/99909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105157/99909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105157 ÷ 217
    105157 ÷ 131072     		x = 0.802284240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99909 ÷ 217
    99909 ÷ 131072     		y = 0.762245178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802284240722656 × 2 - 1) × π
    0.604568481445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.89930790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762245178222656 × 2 - 1) × π
    -0.524490356445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64773505064019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89930790} λ = 1.89930790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64773505064019))-π/2
    2×atan(0.192485384918051)-π/2
    2×0.19015963776927-π/2
    0.380319275538539-1.57079632675     		φ = -1.19047705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89930790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.822327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19047705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.209311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105157 KachelY 99909 1.89930790 -1.19047705 108.822327 -68.209311
    Oben rechts KachelX + 1 105158 KachelY 99909 1.89935584 -1.19047705 108.825073 -68.209311
    Unten links KachelX 105157 KachelY + 1 99910 1.89930790 -1.19049485 108.822327 -68.210330
    Unten rechts KachelX + 1 105158 KachelY + 1 99910 1.89935584 -1.19049485 108.825073 -68.210330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19047705--1.19049485) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dl = 113.403800001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19047705--1.19049485) × R
    1.78000000001788e-05 × 6371000     		dr = 113.403800001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89930790-1.89935584) × cos(-1.19047705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371216951570942 × 6371000     		do = 113.379212134025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89930790-1.89935584) × cos(-1.19049485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371200423390452 × 6371000     		du = 113.374164002268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19047705)-sin(-1.19049485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371216951570942-0.371200423390452)×R²
    abs(1.89935584-1.89930790)×1.65281804901385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65281804901385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65281804901385e-05×40589641000000     		ar = 12857.3472588857m²