Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105157 / 43326
↖ ↑ ↗
← N 51.947651°
E108.822327°		 ← 188.26 m → N 51.947651°
E108.825073°		 →
↑
188.26 m
↓
↑
188.26 m
↓
N 51.945958°
E108.822327°		 ← 188.27 m →
35 443 m²		 N 51.945958°
E108.825073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802288055419922 y=0.330554962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802288055419922 × 217)
    floor (0.802288055419922 × 131072)
    floor (105157.5)     		tx = 105157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330554962158203 × 217)
    floor (0.330554962158203 × 131072)
    floor (43326.5)     		ty = 43326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105157 / 43326 ti = "17/105157/43326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105157/43326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105157 ÷ 217
    105157 ÷ 131072     		x = 0.802284240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43326 ÷ 217
    43326 ÷ 131072     		y = 0.330551147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802284240722656 × 2 - 1) × π
    0.604568481445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.89930790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330551147460938 × 2 - 1) × π
    0.338897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06467854056145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89930790} λ = 1.89930790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06467854056145))-π/2
    2×atan(2.89990663185322)-π/2
    2×1.23872693674048-π/2
    2.47745387348097-1.57079632675     		φ = 0.90665755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89930790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.822327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90665755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.947651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105157 KachelY 43326 1.89930790 0.90665755 108.822327 51.947651
    Oben rechts KachelX + 1 105158 KachelY 43326 1.89935584 0.90665755 108.825073 51.947651
    Unten links KachelX 105157 KachelY + 1 43327 1.89930790 0.90662800 108.822327 51.945958
    Unten rechts KachelX + 1 105158 KachelY + 1 43327 1.89935584 0.90662800 108.825073 51.945958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90665755-0.90662800) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dl = 188.263050000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90665755-0.90662800) × R
    2.95500000000448e-05 × 6371000     		dr = 188.263050000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89930790-1.89935584) × cos(0.90665755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616381192977992 × 6371000     		do = 188.258681987262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89930790-1.89935584) × cos(0.90662800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616404461794878 × 6371000     		du = 188.265788882879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90665755)-sin(0.90662800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616381192977992-0.616404461794878)×R²
    abs(1.89935584-1.89930790)×2.32688168866346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32688168866346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32688168866346e-05×40589641000000     		ar = 35442.822645433m²