Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105156 / 99656
↖ ↑ ↗
← S 67.949900°
E108.819580°		 ← 114.66 m → S 67.949900°
E108.822327°		 →
↑
114.61 m
↓
↑
114.61 m
↓
S 67.950931°
E108.819580°		 ← 114.66 m →
13 142 m²		 S 67.950931°
E108.822327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802280426025391 y=0.760318756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802280426025391 × 217)
    floor (0.802280426025391 × 131072)
    floor (105156.5)     		tx = 105156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760318756103516 × 217)
    floor (0.760318756103516 × 131072)
    floor (99656.5)     		ty = 99656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105156 / 99656 ti = "17/105156/99656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105156/99656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105156 ÷ 217
    105156 ÷ 131072     		x = 0.802276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99656 ÷ 217
    99656 ÷ 131072     		y = 0.76031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802276611328125 × 2 - 1) × π
    0.60455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.89925996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76031494140625 × 2 - 1) × π
    -0.5206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63560701503632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89925996} λ = 1.89925996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63560701503632))-π/2
    2×atan(0.194834068187955)-π/2
    2×0.192423419091265-π/2
    0.38484683818253-1.57079632675     		φ = -1.18594949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89925996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.819580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18594949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.949900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105156 KachelY 99656 1.89925996 -1.18594949 108.819580 -67.949900
    Oben rechts KachelX + 1 105157 KachelY 99656 1.89930790 -1.18594949 108.822327 -67.949900
    Unten links KachelX 105156 KachelY + 1 99657 1.89925996 -1.18596748 108.819580 -67.950931
    Unten rechts KachelX + 1 105157 KachelY + 1 99657 1.89930790 -1.18596748 108.822327 -67.950931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18594949--1.18596748) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dl = 114.614289999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18594949--1.18596748) × R
    1.79899999999122e-05 × 6371000     		dr = 114.614289999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89925996-1.89930790) × cos(-1.18594949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375417180924508 × 6371000     		do = 114.662070292507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89925996-1.89930790) × cos(-1.18596748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.375400506725333 × 6371000     		du = 114.656977562885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18594949)-sin(-1.18596748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375417180924508-0.375400506725333)×R²
    abs(1.89930790-1.89925996)×1.66741991751707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66741991751707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66741991751707e-05×40589641000000     		ar = 13141.6199270931m²