Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105155 / 99655
↖ ↑ ↗
← S 67.948869°
E108.816834°		 ← 114.64 m → S 67.948869°
E108.819580°		 →
↑
114.68 m
↓
↑
114.68 m
↓
S 67.949900°
E108.816834°		 ← 114.64 m →
13 147 m²		 S 67.949900°
E108.819580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802272796630859 y=0.760311126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802272796630859 × 217)
    floor (0.802272796630859 × 131072)
    floor (105155.5)     		tx = 105155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760311126708984 × 217)
    floor (0.760311126708984 × 131072)
    floor (99655.5)     		ty = 99655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105155 / 99655 ti = "17/105155/99655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105155/99655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105155 ÷ 217
    105155 ÷ 131072     		x = 0.802268981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99655 ÷ 217
    99655 ÷ 131072     		y = 0.760307312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802268981933594 × 2 - 1) × π
    0.604537963867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.89921203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760307312011719 × 2 - 1) × π
    -0.520614624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6355590781367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89921203} λ = 1.89921203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6355590781367))-π/2
    2×atan(0.194843408152987)-π/2
    2×0.192432417459054-π/2
    0.384864834918108-1.57079632675     		φ = -1.18593149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89921203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.816834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18593149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.948869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105155 KachelY 99655 1.89921203 -1.18593149 108.816834 -67.948869
    Oben rechts KachelX + 1 105156 KachelY 99655 1.89925996 -1.18593149 108.819580 -67.948869
    Unten links KachelX 105155 KachelY + 1 99656 1.89921203 -1.18594949 108.816834 -67.949900
    Unten rechts KachelX + 1 105156 KachelY + 1 99656 1.89925996 -1.18594949 108.819580 -67.949900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18593149--1.18594949) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dl = 114.678000000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18593149--1.18594949) × R
    1.80000000000735e-05 × 6371000     		dr = 114.678000000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89921203-1.89925996) × cos(-1.18593149) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375433864270676 × 6371000     		do = 114.643246924508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89921203-1.89925996) × cos(-1.18594949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.375417180924508 × 6371000     		du = 114.638152464055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18593149)-sin(-1.18594949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375433864270676-0.375417180924508)×R²
    abs(1.89925996-1.89921203)×1.66833461671678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66833461671678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66833461671678e-05×40589641000000     		ar = 13146.7661599011m²