Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105152 / 43201
↖ ↑ ↗
← N 52.158769°
E108.808594°		 ← 187.33 m → N 52.158769°
E108.811340°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 52.157085°
E108.808594°		 ← 187.34 m →
35 089 m²		 N 52.157085°
E108.811340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802249908447266 y=0.329601287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802249908447266 × 217)
    floor (0.802249908447266 × 131072)
    floor (105152.5)     		tx = 105152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329601287841797 × 217)
    floor (0.329601287841797 × 131072)
    floor (43201.5)     		ty = 43201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105152 / 43201 ti = "17/105152/43201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105152/43201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105152 ÷ 217
    105152 ÷ 131072     		x = 0.80224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43201 ÷ 217
    43201 ÷ 131072     		y = 0.329597473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80224609375 × 2 - 1) × π
    0.6044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.89906822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329597473144531 × 2 - 1) × π
    0.340805053710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07067065301395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89906822} λ = 1.89906822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07067065301395))-π/2
    2×atan(2.91733536380515)-π/2
    2×1.24056929529455-π/2
    2.48113859058911-1.57079632675     		φ = 0.91034226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89906822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91034226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.158769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105152 KachelY 43201 1.89906822 0.91034226 108.808594 52.158769
    Oben rechts KachelX + 1 105153 KachelY 43201 1.89911615 0.91034226 108.811340 52.158769
    Unten links KachelX 105152 KachelY + 1 43202 1.89906822 0.91031286 108.808594 52.157085
    Unten rechts KachelX + 1 105153 KachelY + 1 43202 1.89911615 0.91031286 108.811340 52.157085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91034226-0.91031286) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dl = 187.307399999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91034226-0.91031286) × R
    2.93999999999572e-05 × 6371000     		dr = 187.307399999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89906822-1.89911615) × cos(0.91034226) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613475497996467 × 6371000     		do = 187.332123423577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89906822-1.89911615) × cos(0.91031286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.613498715315702 × 6371000     		du = 187.339213111309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91034226)-sin(0.91031286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613475497996467-0.613498715315702)×R²
    abs(1.89911615-1.89906822)×2.321731923427e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.321731923427e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.321731923427e-05×40589641000000     		ar = 35089.3569528008m²