Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105151 / 43199
↖ ↑ ↗
← N 52.162140°
E108.805847°		 ← 187.36 m → N 52.162140°
E108.808594°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 52.160454°
E108.805847°		 ← 187.36 m →
35 106 m²		 N 52.160454°
E108.808594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802242279052734 y=0.329586029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802242279052734 × 217)
    floor (0.802242279052734 × 131072)
    floor (105151.5)     		tx = 105151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329586029052734 × 217)
    floor (0.329586029052734 × 131072)
    floor (43199.5)     		ty = 43199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105151 / 43199 ti = "17/105151/43199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105151/43199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105151 ÷ 217
    105151 ÷ 131072     		x = 0.802238464355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43199 ÷ 217
    43199 ÷ 131072     		y = 0.329582214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802238464355469 × 2 - 1) × π
    0.604476928710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.89902028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329582214355469 × 2 - 1) × π
    0.340835571289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07076652681319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89902028} λ = 1.89902028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07076652681319))-π/2
    2×atan(2.91761507323833)-π/2
    2×1.2405987022945-π/2
    2.481197404589-1.57079632675     		φ = 0.91040108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89902028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.805847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91040108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.162140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105151 KachelY 43199 1.89902028 0.91040108 108.805847 52.162140
    Oben rechts KachelX + 1 105152 KachelY 43199 1.89906822 0.91040108 108.808594 52.162140
    Unten links KachelX 105151 KachelY + 1 43200 1.89902028 0.91037167 108.805847 52.160454
    Unten rechts KachelX + 1 105152 KachelY + 1 43200 1.89906822 0.91037167 108.808594 52.160454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91040108-0.91037167) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91040108-0.91037167) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89902028-1.89906822) × cos(0.91040108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613429045972231 × 6371000     		do = 187.35702030344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89902028-1.89906822) × cos(0.91037167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613452272249651 × 6371000     		du = 187.364114206408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91040108)-sin(0.91037167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613429045972231-0.613452272249651)×R²
    abs(1.89906822-1.89902028)×2.32262774202407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32262774202407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32262774202407e-05×40589641000000     		ar = 35105.9574593579m²