Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 105149 / 43341
↖ ↑ ↗
← N 51.922250°
E108.800354°		 ← 188.37 m → N 51.922250°
E108.803100°		 →
↑
188.33 m
↓
↑
188.33 m
↓
N 51.920556°
E108.800354°		 ← 188.37 m →
35 475 m²		 N 51.920556°
E108.803100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802227020263672 y=0.330669403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802227020263672 × 217)
    floor (0.802227020263672 × 131072)
    floor (105149.5)     		tx = 105149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330669403076172 × 217)
    floor (0.330669403076172 × 131072)
    floor (43341.5)     		ty = 43341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105149 / 43341 ti = "17/105149/43341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105149/43341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105149 ÷ 217
    105149 ÷ 131072     		x = 0.802223205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43341 ÷ 217
    43341 ÷ 131072     		y = 0.330665588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802223205566406 × 2 - 1) × π
    0.604446411132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.89892440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330665588378906 × 2 - 1) × π
    0.338668823242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06395948706715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89892440} λ = 1.89892440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06395948706715))-π/2
    2×atan(2.89782219335765)-π/2
    2×1.23850526847122-π/2
    2.47701053694244-1.57079632675     		φ = 0.90621421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89892440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.800354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90621421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.922250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105149 KachelY 43341 1.89892440 0.90621421 108.800354 51.922250
    Oben rechts KachelX + 1 105150 KachelY 43341 1.89897234 0.90621421 108.803100 51.922250
    Unten links KachelX 105149 KachelY + 1 43342 1.89892440 0.90618465 108.800354 51.920556
    Unten rechts KachelX + 1 105150 KachelY + 1 43342 1.89897234 0.90618465 108.803100 51.920556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90621421-0.90618465) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dl = 188.326759999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90621421-0.90618465) × R
    2.9559999999984e-05 × 6371000     		dr = 188.326759999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89892440-1.89897234) × cos(0.90621421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61673023955194 × 6371000     		do = 188.365289795405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89892440-1.89897234) × cos(0.90618465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.616753508162928 × 6371000     		du = 188.372396628135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90621421)-sin(0.90618465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61673023955194-0.616753508162928)×R²
    abs(1.89897234-1.89892440)×2.32686109880031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32686109880031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32686109880031e-05×40589641000000     		ar = 35474.8939296576m²