Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105131 / 99899
↖ ↑ ↗
← S 68.199112°
E108.750916°		 ← 113.43 m → S 68.199112°
E108.753662°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
S 68.200132°
E108.750916°		 ← 113.42 m →
12 863 m²		 S 68.200132°
E108.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802089691162109 y=0.762172698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802089691162109 × 217)
    floor (0.802089691162109 × 131072)
    floor (105131.5)     		tx = 105131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762172698974609 × 217)
    floor (0.762172698974609 × 131072)
    floor (99899.5)     		ty = 99899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105131 / 99899 ti = "17/105131/99899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105131/99899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105131 ÷ 217
    105131 ÷ 131072     		x = 0.802085876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99899 ÷ 217
    99899 ÷ 131072     		y = 0.762168884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802085876464844 × 2 - 1) × π
    0.604171752929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.89806154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762168884277344 × 2 - 1) × π
    -0.524337768554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.64725568164399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89806154} λ = 1.89806154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64725568164399))-π/2
    2×atan(0.192577678563391)-π/2
    2×0.19024863252228-π/2
    0.380497265044559-1.57079632675     		φ = -1.19029906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89806154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.750916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19029906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.199112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105131 KachelY 99899 1.89806154 -1.19029906 108.750916 -68.199112
    Oben rechts KachelX + 1 105132 KachelY 99899 1.89810948 -1.19029906 108.753662 -68.199112
    Unten links KachelX 105131 KachelY + 1 99900 1.89806154 -1.19031686 108.750916 -68.200132
    Unten rechts KachelX + 1 105132 KachelY + 1 99900 1.89810948 -1.19031686 108.753662 -68.200132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19029906--1.19031686) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19029906--1.19031686) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89806154-1.89810948) × cos(-1.19029906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371382217621276 × 6371000     		do = 113.429688639745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89806154-1.89810948) × cos(-1.19031686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371365690617119 × 6371000     		du = 113.42464086727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19029906)-sin(-1.19031686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371382217621276-0.371365690617119)×R²
    abs(1.89810948-1.89806154)×1.65270041566079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65270041566079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65270041566079e-05×40589641000000     		ar = 12863.0715066296m²