Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105131 / 97482
↖ ↑ ↗
← S 65.597070°
E108.750916°		 ← 126.19 m → S 65.597070°
E108.753662°		 →
↑
126.21 m
↓
↑
126.21 m
↓
S 65.598205°
E108.750916°		 ← 126.18 m →
15 926 m²		 S 65.598205°
E108.753662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802089691162109 y=0.743732452392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802089691162109 × 217)
    floor (0.802089691162109 × 131072)
    floor (105131.5)     		tx = 105131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743732452392578 × 217)
    floor (0.743732452392578 × 131072)
    floor (97482.5)     		ty = 97482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105131 / 97482 ti = "17/105131/97482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105131/97482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105131 ÷ 217
    105131 ÷ 131072     		x = 0.802085876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97482 ÷ 217
    97482 ÷ 131072     		y = 0.743728637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802085876464844 × 2 - 1) × π
    0.604171752929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.89806154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.487457275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53139219526231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89806154} λ = 1.89806154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53139219526231))-π/2
    2×atan(0.216234417134043)-π/2
    2×0.212955737550664-π/2
    0.425911475101327-1.57079632675     		φ = -1.14488485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89806154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.750916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14488485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.597070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105131 KachelY 97482 1.89806154 -1.14488485 108.750916 -65.597070
    Oben rechts KachelX + 1 105132 KachelY 97482 1.89810948 -1.14488485 108.753662 -65.597070
    Unten links KachelX 105131 KachelY + 1 97483 1.89806154 -1.14490466 108.750916 -65.598205
    Unten rechts KachelX + 1 105132 KachelY + 1 97483 1.89810948 -1.14490466 108.753662 -65.598205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14488485--1.14490466) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dl = 126.209509999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14488485--1.14490466) × R
    1.98099999999535e-05 × 6371000     		dr = 126.209509999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89806154-1.89810948) × cos(-1.14488485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413151001016816 × 6371000     		do = 126.186950217219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89806154-1.89810948) × cos(-1.14490466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413132960710956 × 6371000     		du = 126.181440243452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14488485)-sin(-1.14490466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413151001016816-0.413132960710956)×R²
    abs(1.89810948-1.89806154)×1.80403058598344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80403058598344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80403058598344e-05×40589641000000     		ar = 15925.6454502442m²