Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10513 / 6674
↖ ↑ ↗
← N 80.630952°
W122.250366°		 ← 99.43 m → N 80.630952°
W122.244873°		 →
↑
99.45 m
↓
↑
99.45 m
↓
N 80.630058°
W122.250366°		 ← 99.44 m →
9 889 m²		 N 80.630058°
W122.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160423278808594 y=0.101844787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160423278808594 × 216)
    floor (0.160423278808594 × 65536)
    floor (10513.5)     		tx = 10513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101844787597656 × 216)
    floor (0.101844787597656 × 65536)
    floor (6674.5)     		ty = 6674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10513 / 6674 ti = "16/10513/6674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10513/6674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10513 ÷ 216
    10513 ÷ 65536     		x = 0.160415649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6674 ÷ 216
    6674 ÷ 65536     		y = 0.101837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160415649414062 × 2 - 1) × π
    -0.679168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13367140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101837158203125 × 2 - 1) × π
    0.79632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50173091737149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13367140} λ = -2.13367140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50173091737149))-π/2
    2×atan(12.2035991114948)-π/2
    2×1.48903595883786-π/2
    2.97807191767572-1.57079632675     		φ = 1.40727559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13367140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.250366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40727559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.630952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10513 KachelY 6674 -2.13367140 1.40727559 -122.250366 80.630952
    Oben rechts KachelX + 1 10514 KachelY 6674 -2.13357553 1.40727559 -122.244873 80.630952
    Unten links KachelX 10513 KachelY + 1 6675 -2.13367140 1.40725998 -122.250366 80.630058
    Unten rechts KachelX + 1 10514 KachelY + 1 6675 -2.13357553 1.40725998 -122.244873 80.630058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40727559-1.40725998) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dl = 99.4513099996415m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40727559-1.40725998) × R
    1.56099999999437e-05 × 6371000     		dr = 99.4513099996415m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13367140--2.13357553) × cos(1.40727559) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162792979434689 × 6371000     		do = 99.4319608805672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13367140--2.13357553) × cos(1.40725998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.162808381181332 × 6371000     		du = 99.4413680790536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40727559)-sin(1.40725998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162792979434689-0.162808381181332)×R²
    abs(-2.13357553--2.13367140)×1.54017466433842e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.54017466433842e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.54017466433842e-05×40589641000000     		ar = 9889.10654472346m²