Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 105129 / 99689
↖ ↑ ↗
← S 67.983902°
E108.745423°		 ← 114.47 m → S 67.983902°
E108.748169°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
S 67.984932°
E108.745423°		 ← 114.47 m →
13 105 m²		 S 67.984932°
E108.748169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 105129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.802074432373047 y=0.760570526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.802074432373047 × 217)
    floor (0.802074432373047 × 131072)
    floor (105129.5)     		tx = 105129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760570526123047 × 217)
    floor (0.760570526123047 × 131072)
    floor (99689.5)     		ty = 99689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 105129 / 99689 ti = "17/105129/99689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/105129/99689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 105129 ÷ 217
    105129 ÷ 131072     		x = 0.802070617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99689 ÷ 217
    99689 ÷ 131072     		y = 0.760566711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.802070617675781 × 2 - 1) × π
    0.604141235351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.89796567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760566711425781 × 2 - 1) × π
    -0.521133422851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.63718893272378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89796567} λ = 1.89796567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63718893272378))-π/2
    2×atan(0.19452610038345)-π/2
    2×0.19212669714981-π/2
    0.38425339429962-1.57079632675     		φ = -1.18654293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89796567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.745423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18654293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.983902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 105129 KachelY 99689 1.89796567 -1.18654293 108.745423 -67.983902
    Oben rechts KachelX + 1 105130 KachelY 99689 1.89801360 -1.18654293 108.748169 -67.983902
    Unten links KachelX 105129 KachelY + 1 99690 1.89796567 -1.18656090 108.745423 -67.984932
    Unten rechts KachelX + 1 105130 KachelY + 1 99690 1.89801360 -1.18656090 108.748169 -67.984932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18654293--1.18656090) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dl = 114.486869998801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18654293--1.18656090) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dr = 114.486869998801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89796567-1.89801360) × cos(-1.18654293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374867081460071 × 6371000     		do = 114.470172974893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89796567-1.89801360) × cos(-1.18656090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374850421797679 × 6371000     		du = 114.465085746565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18654293)-sin(-1.18656090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374867081460071-0.374850421797679)×R²
    abs(1.89801360-1.89796567)×1.66596623920046e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66596623920046e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66596623920046e-05×40589641000000     		ar = 13105.0406019518m²